Greenove identity

Greenove identity sú a súbor troch identít vo vektorovej analýze. Sú pomenovné po matematikovi Georgovi Greenovi, ktorý objavil Greenovu vetu.

Prvá Greenova identita

Táto identita je odvodená z Gaussovej vety aplikovanej na vektorové pole $\mathbf{F}=\psi \nabla \phi$: Ak platí, že φ má spojitú druhú deriváciu, a ψ má spojitú prvú deriváciu, na množine U, potom:

$\int_U \left( \psi \nabla^2 \phi\right)\, dV = \oint_{\partial U} \left( \psi{\partial \phi \over \partial n}\right)\, dS - \int_U \left( \nabla \phi \cdot \nabla \psi\right)\, dV$

Druhá Greenova identita

Ak φ a ψ majú obe spojité druhé derivácie na U, potom:

$\int_U \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, dV = \oint_{\partial U} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, dS$

Tretia Greenova identita

Greenova tretia identita je odvodená z druhej ak položíme $\phi(.)={1 \over |\mathbf{x} - .|}$ a $\nabla^2 \phi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - . \right)$ v R³: Ak ψ má spojitú druhú deriváciu na U .

$\oint_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \psi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \psi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y}} {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y} - \int_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \psi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} = k$

k = 4πψ(x) ak x ∈ leží v U, 2πψ(x) ak x ∈ ∂U a má dotyčnicu v x, nule a všade inde.