Möbiov list

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Möbiova páska zhotovená z papiera.

Möbiov list alebo Möbiov pás(ik) alebo Möbiova páska alebo Simonyho prstenec (len v staršej literatúre) je plocha, ktorá má len jednu stranu a jednu hranu. Roku 1858 ju nezávisle od seba objavili (resp. vynašli) matematici August Ferdinand Möbius a Johann Benedikt Listing.

Vlastnosti Möbiovho listu[upraviť | upraviť zdroj]

Möbiov list nie je zložitý útvar, napriek tomu veľmi názorne demonštruje javy, ktoré spôsobujú deformácie dvojrozmerného priestoru do tretieho rozmeru.

V euklidovskom priestore jestvujú v skutočnosti dva druhy Möbiovho listu v závislosti od smeru pootočenia konca pri jej realizácii – v smere hodinových ručičiek a v ich protismere. Preto je Möbiov list chirálny (analogicky k pravej a ľavej ruke).

Na vytvorenie Möbiovho listu je potrebný len dlhší úzky pruh papiera, pričom jeden koniec sa priečne pootočí o 180° a spojí sa s druhým koncom. Nevznikne tak bežný prstenec s dvomi stranami, ale objekt, ktorý hoci je trojrozmerný, má len jednu stranu (rubová a lícová strana na seba plynule nadväzujú, jedna strana prechádza do druhej).

Geometria a topológia[upraviť | upraviť zdroj]

Möbiova páska v parametrickom grafe.

Jednou z možností, ako matematicky opísať Möbiov list ako podmnožinu \mathbb{R}^3 je použitie parametrizácie:

x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\cos(u)
y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos\frac{u}{2}\right)\sin(u)
z(u,v)=\frac{v}{2}\sin\frac{u}{2},

kde 0\leq u < 2\pi a -1\leq v\leq 1. Tento predpis vytvorí pásku šírky 1, ktorej centrálna kružnica má polomer 1 ležiaci v rovine xy so stredom v bode (0,0,0).

Vo valcovej sústave súradníc je Möbiov list reprezentovaný nasledujúcim predpisom:

\log (r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).

Ďalšie efekty[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je Möbiov list v strede rozstrihnutý, potom vznikne jeden dlhý, niekoľkokrát pretočený pruh.

Ak nie je prestrihnutá v strede, ale na okraji, vzniknú tak dva do seba vpletené pruhy, jeden dvakrát dlhší než pôvodný Möbiov list a bez jej vlastností, druhý bude mať opäť jej vlastnosti. Ak sa bude v rozstrihovávaní pokračovať, vzniknuvšie pásky budú prepletené so všetkými predchádzajúcimi.

Ak necháme kráčať mravca po tejto páske, prvý okruh bude kráčať po vrchnej časti pásky a druhý po spodnej – bude sa nachádzať presne pod miestom, kde začal. Hoci pojem spodná strana a vrchná strana je relatívny, pretože vrchná plynulo prechádza do spodnej a opačne. Táto zvláštnosť sa môže využívať pri návrhoch hnacích remeňov. Hnacie remene v tvare Möbiovho listu sa opotrebúvajú na oboch stranách povrchu, čiže vydržia dvakrát tak dlho.

Ďalší problém vzniká, ak by sme chceli namaľovať každý povrch pásky inou farbou.

Umenie a technológia[upraviť | upraviť zdroj]

Möbiov list inšpiroval viacerých umelcov. M. C. Escher vytvoril niekoľko obrazov s podobnou tématikou. Najznámejší z nich je Möbius Strip II, na ktorom kráčajú po Möbiovom liste mravce.

Podobne sa Möbiov list objavuje aj vo sci-fi literatúre.

Trojrozmerný ekvivalent listu – Möbiovu kocku – použil spisovateľ Dan Simmons vo svojom sci-fi románe Kantos Hyperionu ako úložisko schopné uzavrieť predmety alebo bytosti s veľkou energiou.

V technickej praxi našiel Möbiov list uplatnenie najmä v podobe dopravníkových pásov ako nekonečná prehrávacia slučka s dvojnásobnou dĺžkou záznamu.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]