Permutácia (kombinatorika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Permutácia alebo poradie základného súboru n prvkov je skupina všetkých n prvkov, pri ktorej záleží na poradí prvkov v nej (pričom toto poradie môže byť ľubovoľné). Ako permutácia alebo premiestnenie sa označuje aj proces vytvorenia takejto skupiny.
Slovo permutovať znamená obmieňať.

Rozlišujeme premutácie s opakovaním a bez opakovania.

Permutácie bez opakovania[upraviť | upraviť zdroj]

M je množina n rôznych prvkov, z ktoých tvoríme n - tice, pričom prvky v n - ticiach sa nemôžu opakovať. P(n) = n!, kde n! označuje faktoriál.

Ak sa nehovorí inak, sú permutácie myslené bez opakovania.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Máme skupinu troch rôznych prvkov a, b, c. Permutácie týchto prvkov predstavujú skupiny abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Ich počet je teda: P(3) = 3! = 6

Permutácie s opakovaním[upraviť | upraviť zdroj]

M je množina n prvkov, z ktorých je k_1 rovnakých 1. druhu, k_2 je rovnakých 2. druhu, až k_r je rovnakých r - tého druhu, pričom platí: k_1 + k_2 + ... + k_r = n.
Prvky vo výbere sa teda môžu opakovať. Počet permutácií s opakovaním je určený ako:

P_{k_1,k_2,...,k_r}(n) = \frac{n!}{{k_1!}\cdot{k_2!}\cdot...\cdot{k_r!}},

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

1. Máme skupinu troch prvkov a, a, b. Skupina je teda zložená z dvoch skupín (teda k = 2), pričom prvá skupina má dva prvky a, tzn. k_1 = 2, a druhá skupina obsahuje jeden prvok b, tzn. k_2 = 1.

Permutáciami s opakovaním získame skupiny aab, aba, baa. Počet týchto skupín je tedy rovný: P_{2,1}(3) = \frac{3!}{{2!}\cdot{1!}} = 3

2. Koľkými spôsobmi možno rozsadiť 8 žiakov, z ktorých majú dvaja zelené, traja červené a ďalší traja modré vetrovky?
Riešenie: P_{2, 3, 3}(8) = \frac{8!}{2!\cdot 3!\cdot 3!} = 560

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Použitá literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Marián Olejár a kol.: Zbierka vzorcov za matematiky, Vydavateľstvo Young Scientist, ISBN 80-88792-16-9