Radonova transformácia

Radonova transformácia je integrálna transformácia ktorá reálnej funkcii $f$ definovanej na $n$-rozmernom reálnom priestore priradí inú funkciu nesúcu informáciu o integráloch funkcie $f$ cez všetky afinné nadroviny priestoru na ktorom je definovaná. Tejto novej funkcii sa niekedy hovorí Radonov obraz funkcie $f$. Transformácia, ktorá Radonovmu obrazu priradí pôvodnú funkciu sa nazýva inverzná Radonova transformácia.

Napríklad, ak je $f$ funkcia dvoch premenných, teda ak $n=2$, afinné nadroviny priestoru na ktorom je definovaná sú všetky priamky ležiace v rovine. Každá rovinná priamka je jednoznačne určená uhlom $\alpha$ ktorý zviera jej normála s $x$-ovou osou a jej vzdialenosťou $r$ od počiatku v smere normály. Radonov obraz funkcie $f$ sa dá potom definovať ako funkcia týchto dvoch parametrov takto:

$\mathcal{R}[f](\alpha,r)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! f\big(r\sin(\alpha)-t\cos(\alpha), r\cos(\alpha)+t\sin(\alpha)\big)\mathrm{d}t$

Koncepcia Radonovej transformácie je nesmierne dôležitá v teórii tomografie. Výstupom z tomografu totiž nie je priamo obrázok prierezu snímaného objektu, ale jeho zjednodušený Radonov obraz. Teória Radonovej transformácie sa tu uplatňuje obzvlášť pri tomografickej rekonštrukcii kedy sa na nameraný Radonov obraz aplikuje inverzná Radonova transformácia a získava sa snímka prierezu študovaného objektu. V tomografickej praxi sa Radonovmu obrazu niekedy hovori sinogram pretože Radonove obrazy jednoduchších funkcií zonázornené ako obrázok, napríklad v stupňoch šedi, pripomínajú množstvo navzájom sa prelínajúcich vzájomne posunutých a preškálovaných sínusoviek.

História

Radonova transformácia je pomenovaná po rakúskom matematikovi českého pôvodu, Johannovi Radonovi. V roku 1917 publikoval prácu v ktorej vyriešil otázku inverznej Radonovej transformácie pre prípad $n=2$. Neskôr vyvsvitlo, že Hendrik Lorentz poznal vzťah pre inverznú Radonovu transformáciu už na prelome 19. a 20. storočia.

Všeobecná definícia

Afinné nadroviny $n$-rozmerného priestoru, sú všetky jeho $(n-1)$-rozmerné afinné podpriestory. Tie sú úplne určené svojim jednotkovým normálovým vektorom $d\in\mathbb{S}_{n-1}$ a vzdialenosťou od počiatku $r\in\mathbb{R}$ rátanou v smere vektora $d$. Radonov obraz funkcie $n$-premenných $f$ sa preto najčastejšie definuje ako funkcia definovaná ako funkcia

$\mathcal{R}[f]\colon\mathbb{S}_{n-1}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

daná vzťahom

$\mathcal{R}[f](d,r)=\int_{\mathrm{L}_{d,r}}\!\! f\,\mathrm{d}s$

kde $\mathrm{L}_{d,r}$ je afinná nadrovina určená dvojicou parametrov $d$ a $r$ v zmysle uvedenom vyššie a $\mathrm{d}s$ je $(n-1)$-rozmerná Lebesgueova miera na tejto nadrovine.

Pozri aj

• Integrálna transformácia

Referencie

• J. Radon, "Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwaerte laengs gewisser Maennigfaltigkeiten", Ber. Saechs. Akad. Wiss vol. 69 (1917), s. 262-277.