Rovnica (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F (x) = f (x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.

Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".

Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.

Znak rovná sa[upraviť | upraviť zdroj]

Graficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je:
f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.

Základné definície[upraviť | upraviť zdroj]

  • Symbol x sa nazýva neznáma; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x1, x2…xn (často označované ako x, y, z…), hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
  • Symbol a sa spravidla nazýva koeficient neznámej; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a0, a1…an (často označované ako a, b, c…)
  • Koreň alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
  • Obor pravdivosti rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F (x) = f (x) pravdivým výrokom
  • Obor definície rovnice je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.

Premenná, neznáma, parameter[upraviť | upraviť zdroj]

Pojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:

  • neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
  • parametre = ostatné premenné

Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.

Delenie podľa počtu neznámych[upraviť | upraviť zdroj]

Delenie podľa riešiteľnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
  • riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel)
  • neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x)

Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x2 = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.

Delenie podľa typu zobrazení F a f[upraviť | upraviť zdroj]

Vektorový a maticový zápis pre lineárne rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor – tzv. vektor neznámych xT = (x1, x2…xn) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor aT = (a0, a1…an), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a0x0 + a1x1 +…+ anxn = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako
aTx = b.

Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej sústavy lineárnych rovníc chápať ako maticu – tzv. maticu sústavy:
A =  \begin{pmatrix}
    a_{0 prvej rovnice}& a_{1 prvej rovnice}& a_{2 prvej rovnice}... \\
    a_{0 druhej rovnice}& a_{1 druhej rovnice}& a_{2 druhej rovnice}... \\
    ... \\
    a_{0 poslednej rovnice}& a_{1 poslednej rovnice}& a_{2 poslednej rovnice}...
  \end{pmatrix}

a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto: Ax =b

Vysvetlivky
  • tučné písmo znamená, že ide o vektor alebo maticu
  • T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)

Riešenie rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Na nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:

  • Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
  • Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.

Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.