Vytvárajúca funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Vytvárajúca funkcia alebo generujúca funkcia je v matematike formálny mocninový rad o jednej premennej, ktorého koeficienty obsahujú informáciu o danej postupnosti čísel. Formálnosť mocninového radu znamená, že sa s ním narába ako s čisto algebraickým objektom a neštudujú sa jeho analytické vlastnosti ako napríklad polomer konvergencie a pod.[1] Metóda vytvárajúcich funkcií býva často považovaná za najsilnejšiu metódu manipulácie s číselnými postupnosťami. [2]

Súvis medzi operáciami na postupnostiach a operáciami na ich vytvárajúcich funkciach sa využíva predovšetkým na riešenie rekurentných vzťahov, čo má dôležité aplikácie pri enumerácii diskrétnych štruktúr.[3] Myšlienka použitia formálnych mocninových radov na riešenie rekurentných vzťahov siaha k Abrahamovi de Moivrovi, ktorý túto metódu použil na zistenie uzavretého tvaru pre Fibonacciho čísla.[4]

Podľa spôsobu konštrukcie formálneho mocninového radu k danej postupnosti je možné rozlíšiť viacero typov vytvárajúcich funkcií. Medzi najznámejšie patria obyčajné vytvárajúce funkcie, exponenciálne vytvárajúce funkcie, Poissonove vytvárajúce funkcie, Lambertove vytvárajúce funkcie a Dirichletove vytvárajúce funkcie. Teóriu je možné z postupností rozšíriť aj na viacrozmerné štruktúry, v takom prípade nie je vytvárajúca funkcia formálnym mocninovým radom o jednej premennej, ale o toľko premenných, aká je dimenzia danej štruktúry.

Definície[upraviť | upraviť zdroj]

Obyčajná vytvárajúca funkcia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech \{a_n\}_{n=0}^{\infty} = (a_0,a_1,\ldots) je číselná postupnosť. Obyčajná vytvárajúca funkcia k postupnosti a_n je formálny mocninový rad

G(a_n;x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.

Exponenciálna vytvárajúca funkcia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech \{a_n\}_{n=0}^{\infty} = (a_0,a_1,\ldots) je číselná postupnosť. Exponenciálna vytvárajúca funkcia k postupnosti a_n je formálny mocninový rad

\operatorname{EG}(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}.

Názov exponenciálna vytvárajúca funkcia pochádza zo skutočnosti, že pre Taylorov rad exponenciálnej funkcie e^x platí

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

Poissonova vytvárajúca funkcia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech \{a_n\}_{n=0}^{\infty} = (a_0,a_1,\ldots) je číselná postupnosť. Poissonova vytvárajúca funkcia k postupnosti a_n je formálny mocninový rad

\operatorname{PG}(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!} = e^{-x}\, \operatorname{EG}(a_n;x)\,.

Lambertova vytvárajúca funkcia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech \{a_n\}_{n=1}^{\infty} = (a_1,a_2,\ldots) je číselná postupnosť. Lambertova vytvárajúca funkcia k postupnosti a_n je formálny mocninový rad

\operatorname{LG}(a_n;x)=\sum _{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^n}{1-x^n}.

Prítomnosť výrazu 1-x^n v menovateli člena vytvárajúcej funkcie implikuje nutnosť indexovať postupnosť od čísla 1, nie od čísla 0.

Dirichletova vytvárajúca funkcia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech \{a_n\}_{n=1}^{\infty} = (a_1,a_2,\ldots) je číselná postupnosť. Dirichletova vytvárajúca funkcia k postupnosti a_n je formálny mocninový rad

\operatorname{DG}(a_n;x)=\sum _{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^x}.

Opäť je nutné indexovať postupnosť od čísla 1, čo spôsobila prítomnosť člena n^x v menovateli vytvárajúcej funkcie.

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Wilf, H. S.: Generatingfunctionology. Academic Press, 1994.
  2. Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O.: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1990.
  3. Matoušek, J., Nešetřil, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky. Karolinum, 2007.
  4. Knuth, D. E.: The Art of Computer Programming, vol. I: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley, 1997.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]