Postupnosť (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Postupnosť (symbol je (a_n)_{n=1}^\infty alebo len (an) či {an} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.

Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.

Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o funkcionálnej postupnosti.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Postupnosť je

  • neklesajúca, ak pre všetky i platí a_i \ge a_{i-1},
  • nerastúca, ak pre všetky i platí a_i \le a_{i-1},
  • rastúca, ak pre všetky i platí a_i > a_{i-1},
  • klesajúca, ak pre všetky i platí a_i < a_{i-1},
  • zdola ohraničená v množine A, ak existuje také L \in \mathit{A}, že pre všetky i platí a_i \ge L,
  • zhora ohraničená v množine A, ak existuje také K \in \mathit{A}, že pre všetky i platí a_i \le K.

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.

Limita[upraviť | upraviť zdroj]

Hovoríme, že postupnosť

  • konverguje, ak má konečnú limitu (napr. 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots konverguje k 0),
  • diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. 1, 2, 3, \ldots diverguje k \infty),
  • osciluje, ak limitu nemá (napr. 1, -1, 1, -1, \ldots).

Vybraná postupnosť[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je (a_n)_{n=1}^\infty postupnosť (všeobecne reálnych) čísiel a (k_n)_{n=1}^\infty rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz (a_{k_n})_{n=1}^\infty nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z a_n (inými slovami, z a_n vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je \mathit(a_n) ohraničená postupnosť v \mathbb{R}, potom z nej možno vybrať postupnosť \mathit(a_{k_n}), ktorá je konvergentná

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]