Rad (matematika)

V matematike je (nekonečný) rad postupnosť, ktorej n-tý člen predstavuje súčet prvých n členov danej postupnosti $a_n$. Tento súčet sa označuje ako čiastočný (parciálny) súčet postupnosti $a_n$.

Ak sú členy daného (nekonečného) radu čísla, potom sa takýto rad nazýva číselným radom (alebo taktiež rad s konštantnými členmi). Ak n-tý prvok radu závisí nielen na svojom poradovom čísle $n$, ale tiež na dalších parametroch, potom takýto (nekonečný) rad označujeme ako funkčný prípadne tiež funkcionálny rad. Funkčný rad získáme z postupnosti funkcií $f_n(x)$.

Neformálne sa ako (nekonečný) rad často označuje nekonečný súčet postupnosti $a_n$, ktorý sa symbolicky zapisuje ako:

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

v prípade postupnosti funkcií nahradzujeme $a_n$ symbolom $f_n(x)$.

Súčet radu (definícia ad a)

Pre postupnosť $a_0, a_1, a_2, \ldots$ definujeme tzv. k-tý čiastočný súčet ako $s_k=\sum_{n=0}^k a_n$, teda (konečný) súčet prvých k prvkov postupnosti. Pomocou neho je definovaný súčet nekonečného radu ako $\lim_{n \to \infty}s_n$, čiže limita postupnosti čiastočných súčtov.

Podľa (ne-)existencie tejto limity sa rady delia na:

• konvergentné - u nich limita existuje a rovná sa nejakému konečnému číslu, napríklad $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
• divergentné - limita neexistuje (napr. $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$ - postupnosť čiastočných súčtov je oscilujúca) alebo sa rovná $\pm\infty\;$, napr. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty$

Niektoré významné rady

• geometrický rad je taký rad, v ktorom je každý nasledujúci prvok konštantným násobkom predchádzajúceho prvku. Napríklad

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}.$

Všeobecne sa dá povedať, že geometrický rad $\sum_{n=0}^\infty z^n$ konverguje práve vtedy, ak je |z| < 1.

• harmonický rad je rad tvaru

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$