Rad (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V matematike je (nekonečný) rad postupnosť, ktorej n-tý člen predstavuje súčet prvých n členov danej postupnosti a_n. Tento súčet sa označuje ako čiastočný (parciálny) súčet postupnosti a_n.

Ak sú členy daného (nekonečného) radu čísla, potom sa takýto rad nazýva číselným radom (alebo taktiež rad s konštantnými členmi). Ak n-tý prvok radu závisí nielen na svojom poradovom čísle n, ale tiež na dalších parametroch, potom takýto (nekonečný) rad označujeme ako funkčný prípadne tiež funkcionálny rad. Funkčný rad získáme z postupnosti funkcií f_n(x).

Neformálne sa ako (nekonečný) rad často označuje nekonečný súčet postupnosti a_n, ktorý sa symbolicky zapisuje ako:

\sum_{n=0}^\infty a_n

v prípade postupnosti funkcií nahradzujeme a_n symbolom f_n(x).

Súčet radu (definícia ad a)[upraviť | upraviť zdroj]

Pre postupnosť a_0, a_1, a_2, \ldots definujeme tzv. k-tý čiastočný súčet ako s_k=\sum_{n=0}^k a_n, teda (konečný) súčet prvých k prvkov postupnosti. Pomocou neho je definovaný súčet nekonečného radu ako \lim_{n \to \infty}s_n, čiže limita postupnosti čiastočných súčtov.

Podľa (ne-)existencie tejto limity sa rady delia na:

  • konvergentné - u nich limita existuje a rovná sa nejakému konečnému číslu, napríklad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
  • divergentné - limita neexistuje (napr. \sum_{n=0}^\infty (-1)^n - postupnosť čiastočných súčtov je oscilujúca) alebo sa rovná \pm\infty\;, napr. \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty

Niektoré významné rady[upraviť | upraviť zdroj]

  • geometrický rad je taký rad, v ktorom je každý nasledujúci prvok konštantným násobkom predchádzajúceho prvku. Napríklad
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}.
Všeobecne sa dá povedať, že geometrický rad \sum_{n=0}^\infty z^n konverguje práve vtedy, ak je |z| < 1.
  • harmonický rad je rad tvaru
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}