Limita

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Limita je v matematike hodnota, ku ktorej sa "približuje" premenlivá hodnota.

Limita funkcie sa používa na opis správania sa funkcie, keď sa jej argument "približuje" k nejakému bodu alebo rastie do nekonečna. Limity sa využívajú v matematickej analýze na definovanie derivácie a spojitosti.

Koncept "limity funkcie" sa dá ďalej zovšeobecniť na topologickú sieť a limita postupnosti úzko spojená s limitou a priamou limitou v teórii kategórií.

Limita funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Nech f je reálna funkcia a c je reálne číslo. Výraz:

 \lim_{x \to c}f(x) = L

znamená, že hodnota f(x) sa dá ľubovoľne priblížiť k L tak, že sa x dostane dostatočne blízko k c. Potom hovoríme, že "limita funkcie f v bode c (alebo ako sa f približuje k c) je L". Limita môže existovať dokonca aj keď f(c) \neq L. Funkcia f nemusí byť ani definovaná v bode c.

Uvažujme  f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} ako sa x približuje k 2. V tomto prípade je funkcia f definovaná v bode 2 a jej hodnota 0,4 sa rovná limite v tomto bode:

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882

Ako sa x približuje k 2, hodnoty f(x) sa približujú k 0,4 a preto môžeme napísať \lim_{x\to 2}f(x)=0.4.

Ale nie vždy je to také jednoduché.

Uvažujme

g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{ak }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{ak }x=2. \end{matrix}\right.

Limita funkcie g ako sa x približuje k 2 je 0,4 (tak ako v prípade funkcie f), ale \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2); funkcia g nie je spojitá v bode x = 2.

Alebo majme ešte funkciu f, ktorá je nedefinovaná v bode x = c.

 f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}

V tomto prípade ako sa x približuje k 1, funkcia f je nedefinovaná v bode x = 1, ale jej limita v tomto bode existuje a rovná sa 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow nedef. \Leftarrow 2.001 2.010 2.10

Teda x sa môže približovať k 1, pokiaľ sa nebude rovnať 1, takže limita funkcie f v bode 1 je 2.

Formálna definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Limitu formálne definujeme nasledovne:

Nech f je funkcia a bod c je hromadný bod na jej definičnom obore (teda v každom prstencovom okolí bodu c sa nachádza aspoň jeden prvok z definičného oboru funkcie f). Nech L je reálne číslo. Potom zápis

 \lim_{x \to c}f(x) = L

znamená, že pre každé  \varepsilon\ >0 existuje  \delta\ >0 také, že pre všetky  x , kde 0<|x-c|< \delta\ , platí | f (x)-L|< \varepsilon\ .

Limita funkcie v nekonečne[upraviť | upraviť zdroj]

Limitu funkcie môžeme rozšíriť z prípadov približovania sa k reálnemu číslu na približovanie sa k nekonečnu. V týchto prípadoch toto približovanie sa k nekonečnu vlastne znamená, že x je stále väčšie a väčšie ("približuje" sa ku kladnému nekonečnu) alebo je stále menšie a menšie ("približuje" sa k zápornému nekonečnu).

Majme napríklad funkciu f(x) = \frac{2x}{x + 1}.

  • f(100) = 1.9802
  • f(1000) = 1.9980
  • f(10000) = 1.9998

Postupne ako sa x stáva veľmi veľkým, hodnota f(x) sa približuje k 2 a dá sa priblížiť ľubovoľne blízko k 2 výberom dostatočne veľkého x. V takomto prípade hovoríme, že limita funkcie f ako sa sa jej argument približuje k nekonečnu je 2. V matematickom zápise:

 \lim_{x \to \infty} f(x) = 2.

Formálne môžeme napísať túto definíciu:

 \lim_{x \to \infty} f(x) = c (definotoricky) len vtedy a vtedy, keď pre každé  \epsilon > 0 existuje n také, že |f(x) - c| < \epsilon pre všetky  x > n.

Podobnú definíciu môžeme urobiť pre \lim_{x \to -\infty} f(x)=c.

Limita postupnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Uvažujme nasledujúcu postupnosť: 1,79; 1,799; 1,7999, ... Vidíme, že čísla sa postupne „približujú“ k číslu 1,8 -- limite postupnosti.

Formálne, predpokladajme, že x1, x2 je postupnosť reálnych čísel. Hovoríme, že reálne číslo L je limita tejto postupnosti a zapisujeme ako

 \lim_{n \to \infty} x_n = L

(definitoricky) len vtedy a vtedy, ak

pre každé ε>0 existuje prirodzené číslo n0 také, že pre všetky n>n0 platí |xn - L| < ε.

Intuitívne to znamená, že niekedy všetky prvky postupnosti sa dostanú tak blízko k limite, ako len budeme chcieť, keďže absolútna hodnota |xn - L| sa dá interpretovať ako vzdialenosť xn od L. Nie každá postupnosť má limitu; ak ju má, voláme ju konvergentná, inak je divergentná. Dá sa ukázať, že ak limita existuje, je jediná.

Limita postupnosti a limita funkcie sú, samozrejme, veľmi úzko späté. Postupnosť nie je nič iné ako funkcia definovaná na množine prirodzených čísel. Keďže jediným hromadným bodom tejto množiny je kladné nekonečno, má zmysel skúmať limitu iba tu. Vyššie spomenutá definícia je len rozpísanie limity funkcie v nekonečne a ekvivalentne upravenej pre prirodzené čísla. Na druhej strane sa dá tento špeciálny prípad -- limita postupnosti -- použiť aj na definovanie limity funkcie, keďže limita funkcie f v bode x sa rovná limite postupnosti xn=f(x+1/n) (ak existuje).

Vo všeobecnej situácii je ťažké ak nie nemožné zistiť či postupnosť má limitu tým, že sa overí definícia - teda že sa nájde limita. Ak uvažujeme o postupnosti reálnych čísel a o jej (prípadnej) reálnej limite, tak máme Cauchy-Bolzanove kritérium existencie limity, ktoré neoperuje samotnou hodnotou limity: postupnosť reálnych čísel  \{ a_n\} je konvergentná (t. j. má limitu) práve vtedy keď pre každé  \epsilon >0 existuje  N\in\mathbb{N} že pre všetky  p,q>N je  |a_p-a_q|<\epsilon . Slovne povedané: postupnosť má limitu práve vtedy keď pre každú presnosť  \epsilon >0 existuje také prirodzené číslo, že ak vyberieme ľubovoľne dva prvky z postupnosti ktorých poradové číslo je väčšie ako dotyčné prirodzené číslo, tak to už zaručí, že vybrané dva prvky postupnosti sú k sebe bližšie ako  \epsilon >0.