Zobrazenie (matematika)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Zobrazenie (iné názvy: jednoznačné zobrazenie, funkcia (v širšom zmysle), totálna funkcia (v širšom zmysle), priradenie) je predpis (presnejšie binárna relácia), ktorý priraďuje každému prvku jednej množiny (A) práve jeden prvok druhej množiny (B).

Terminológia[upraviť | upraviť zdroj]

Pojem viacznačné zobrazenie/viacznačná funkcia nie je (napriek svojmu názvu) nikdy zobrazenie/funkcia podľa vyššie uvedenej definície. Pojem parciálna funkcia takisto (napriek svojmu názvu) nie je nevyhnutne zobrazenie/funkcia podľa vyššie uvedenej definície. Pojem (len) "zobrazenie" sa však ojedinele definuje tak, že zahŕňa aj parciálne funkcie.

Pojem jednoznačné zobrazenie je "opačný" pojem k pojmu viacznačné zobrazenie. Pojem totálna funkcia je "opačný" pojem k pojmu parciálna funkcia.

Z historických dôvodov sa hovorí v niektorých prípadoch zobrazeniam (hlavne, ak je definičný obor karteziánska mocina) operácie (napr. hovoríme o operácii sčítania či násobenia).

V minulosti mali viacerí známi matematici svoju vlastnú definíciu funkcie (vždu síce podobnú vyššie uvedenej ale odlišnú).

Výraz funkcia (totálna funkcia) v užšom zmysle je taká funkcia v širšom zmysle, u ktorej je B množinou čísiel (podľa iných zdrojov musí byť navyše A množina čísiel či skupín (usporiadaných n-tíc) čísiel).

Význam[upraviť | upraviť zdroj]

Pojem zobrazenie patrí medzi najzákladnejšie v matematike. Pôvodne vznikol ako abstrakcia vzťahov a pozorovaných zákonitostí v prírodných vedách (napr. veľkosť gravitačnej sily, ktorou je priťahované teleso k inému telesu, závisí od ich hmotností; počet jedincov za určitých podmienok je závislý od času a i.).

Definícia pomocou množín[upraviť | upraviť zdroj]

Zobrazenie (funkcia) \varphi z množiny A do množiny B je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu A\times B, ktorá spĺňa nasledovné vlastnosti:

  • \forall a \in A \exists b\in B: (a,b)\in \varphi ,
  • \forall a \in A, \forall b_1,b_2 \in B ak (a,b_1)\in\varphi, (a,b_2)\in\varphi, potom b_1=b_2.

Prvá vlastnosť hovorí, že každému prvku množiny A musí zobrazenie \varphi priradiť aspoň jeden prvok množiny B, kým druhá hovorí, že ho môže priradiť najviac jeden. Inými slovami, zobrazenie priradí každému prvku množiny A práve jeden prvok množiny B.

Súvisiace pojmy[upraviť | upraviť zdroj]

Množine A hovoríme definičný obor (alebo len obor, niekedy aj doména), množine B koobor (alebo kodoména).

Obor hodnôt zobrazenia \varphi je množina všetkých takých prvkov množiny B na ktoré sa v zobrazení \varphi zobrazuje nejaký prvok množiny A.

Ak označíme danú funkciu napr. f, tak číslo, ktoré funkcia f priraďuje prvku z A, sa nazýva hodnota funkcie f v bode a a zapisuje sa f(a).

Zápis[upraviť | upraviť zdroj]

Fakt, že (a,b)\in \varphi, často označujeme buď tzv. prefixovým zápisom: \varphi(a)=b alebo postfixovým zápisom: a\varphi=b. Druhá forma sa používa hlavne v algebre.

V prípade, že zobrazenie nazývame operácia (pozri vyššie), nazývame symboly označujúce operáciu operátory. Pri binárnych operáciach používame najčastejšie na zápis poznatku ((a_1,a_2),b) \in \varphi tzv. infixový zápis: a_1\varphi a_2=b.

Elementárne funkcie[upraviť | upraviť zdroj]