Hyperbolická funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Grafy hyperbolických funkcií

Pojem hyperbolické funkcie označuje v matematike skupinu niekoľkých funkcií, ktoré sú analogicky podobné goniometrickým funkciám. Medzi základné hyperbolické funkcie patrí hyperbolický sínus (sinh, sh) a hyberbolický kosínus (cosh, ch), ďalej z nich odvodený hyberbolický tangens (tanh, th), hyberbolický kotangens (cotanh, coth, cth), sekans (sech), kosekans (csh). Inverzné funkcie k hyberbolickým funkciám označujeme ako hyperbolometrické funkcie.

Rovnako ako goniometrické funkcie sínus a kosínus, ktoré definujú body na jednotkovej kružnici, hyperbolický sínus a hyberbolický kosínus zase definujú body pravej časti rovnoosej hyperboly. Parametrom týchto funkcií je tzv. hyperbolický uhol.

Definície hyperbolických funkcií[upraviť | upraviť zdroj]

Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde e označuje Eulerovo číslo:

  • Hyperbolický sínus:
\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} ; kde x \in (-\infty, \infty)
  • Hyperbolický kosínus:
\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} ; kde x \in (-\infty, \infty)
  • Hyperbolický tangens:
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} ; kde x \in (-\infty, \infty)
  • Hyperbolický kotangens:
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} ; kde x \in (-\infty, \infty)/\{0\}

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:
{\cosh}^{2} {x} - {\sinh}^{2} {x} = 1 pre všetky x \in \mathbb{R}
  • Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:
\cosh (x + y) = \cosh x \cdot \cosh y + \sinh x \cdot \sinh y pre všetky x \in \mathbb{R}
\sinh (x + y) = \sinh x \cdot \cosh y + \cosh x \cdot \sinh y pre všetky x \in \mathbb{R}
\cosh (2x) = {\cosh}^2 {x} + {\sinh}^2 {x}
\sinh (2x) = 2\cosh x \cdot \sinh x

Monotónnsť a parita[upraviť | upraviť zdroj]

Hyperbolický sínus je rastúca nepárna funkcia na intervale (-\infty, \infty), pričom limitne platí nasledovné:

  • \lim_{x \to \infty} \sinh x = \infty
  • \lim_{x \to -\infty} \sinh x = -\infty

Hyperbolický kosínus je párna klesajúca funkcia na intervale (-\infty, 0) a rastúca je na intervale x \in (0, \infty). Limitne pre túto funkciu platí nasledovné:

  • \lim_{x \to \infty} \cosh x = \infty
  • \lim_{x \to -\infty} \cosh x = \infty

Hyperbolický tangens je nepárna rastúca funkcia na intervale (-\infty, \infty). Limitne pre ňu platí:

  • \lim_{x \to \infty} \tanh x = 1
  • \lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1

Hyperbolický kotangens je nepárna klesajúca funkcia na intervale (-\infty, 0) a (0, \infty). Pre túto funkciu limitne platí:

  • \lim_{x \to 0_{+}} \coth x = \infty
  • \lim_{x \to 0_{-}} \coth x = -\infty
  • \lim_{x \to \infty} \coth x = 1
  • \lim_{x \to -\infty} \coth x = -1

Derivácie[upraviť | upraviť zdroj]

Pre základné derivácie hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

 \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,
 \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,
 \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

Integrály[upraviť | upraviť zdroj]

Pre základné integrály hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C
\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C
\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C
\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C
\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

kde C je integračná konštatnta.

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • NEUBRUNN, Tibor; VENCKO, Jozef. Matematická analýza I. [s.l.] : Matematicko-fyzikálna fakulta UK, Vysokoškolské skriptá, 1992. Dostupné online.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hyperbolické funkce na českej Wikipédii.