Hyperbolická funkcia

Grafy hyperbolických funkcií

Pojem hyperbolické funkcie označuje v matematike skupinu niekoľkých funkcií, ktoré sú analogicky podobné goniometrickým funkciám. Medzi základné hyperbolické funkcie patrí hyperbolický sínus (sinh, sh) a hyberbolický kosínus (cosh, ch), ďalej z nich odvodený hyberbolický tangens (tanh, th), hyberbolický kotangens (cotanh, coth, cth), sekans (sech), kosekans (csh). Inverzné funkcie k hyberbolickým funkciám označujeme ako hyperbolometrické funkcie.

Rovnako ako goniometrické funkcie sínus a kosínus, ktoré definujú body na jednotkovej kružnici, hyperbolický sínus a hyberbolický kosínus zase definujú body pravej časti rovnoosej hyperboly. Parametrom týchto funkcií je tzv. hyperbolický uhol.

Definície hyperbolických funkcií

Ako hyperbolické funkcie nazývame nasledujúce štyri funkcie, kde $e$ označuje Eulerovo číslo:

• Hyperbolický sínus:

$\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}$ ; kde $x \in (-\infty, \infty)$

• Hyperbolický kosínus:

$\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}$ ; kde $x \in (-\infty, \infty)$

• Hyperbolický tangens:

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}$ ; kde $x \in (-\infty, \infty)$

• Hyperbolický kotangens:

$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}$ ; kde $x \in (-\infty, \infty)/\{0\}$

Vlastnosti

• Hyperbolické funkcie sú spojité na svojich definičných oboroch.

• Pre hyperbolický sínus a kosínus platí:

${\cosh}^{2} {x} - {\sinh}^{2} {x} = 1$ pre všetky $x \in \mathbb{R}$

• Pre hyperbolický sínus a kosínus ďalej platí:

$\cosh (x + y) = \cosh x \cdot \cosh y + \sinh x \cdot \sinh y$ pre všetky $x \in \mathbb{R}$

$\sinh (x + y) = \sinh x \cdot \cosh y + \cosh x \cdot \sinh y$ pre všetky $x \in \mathbb{R}$

$\cosh (2x) = {\cosh}^2 {x} + {\sinh}^2 {x}$

$\sinh (2x) = 2cosh x \cdot \sinh x$

Monotónnsť a parita

Hyperbolický sínus je rastúca nepárna funkcia na intervale $(-\infty, \infty)$, pričom limitne platí nasledovné:

• $\lim_{x \to \infty} \sinh x = \infty$
• $\lim_{x \to -\infty} \sinh x = -\infty$

Hyperbolický kosínus je párna klesajúca funkcia na intervale $(-\infty, 0)$ a rastúca je na intervale $x \in (0, \infty)$. Limitne pre túto funkciu platí nasledovné:

• $\lim_{x \to \infty} \cosh x = \infty$
• $\lim_{x \to -\infty} \cosh x = \infty$

Hyperbolický tangens je nepárna rastúca funkcia na intervale $(-\infty, \infty)$. Limitne pre ňu platí:

• $\lim_{x \to \infty} \tanh x = 1$
• $\lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1$

Hyperbolický kotangens je nepárna klesajúca funkcia na intervale $(-\infty, 0)$ a $(0, \infty)$. Pre túto funkciu limitne platí:

• $\lim_{x \to 0_{+}} \coth x = \infty$
• $\lim_{x \to 0_{-}} \coth x = -\infty$
• $\lim_{x \to \infty} \coth x = 1$
• $\lim_{x \to -\infty} \coth x = -1$

Derivácie

Pre základné derivácie hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

$\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,$

$\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,$

$\frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,$

$\frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}$

Integrály

Pre základné integrály hyperbolických funkcií platia nasledovné vzťahy:

$\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C$

$\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C$

$\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C$

$\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C$

kde $C$ je integračná konštatnta.

Iné projekty

• Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Hyperbolická funkcia

Zdroj

• NEUBRUNN, Tibor; VENCKO, Jozef. Matematická analýza I. [s.l.] : Matematicko-fyzikálna fakulta UK, Vysokoškolské skriptá, 1992. Dostupné online. (slovenčina)
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Hyperbolické funkce na českej Wikipédii.