Inverzné zobrazenie (funkcia)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Inverzné zobrazenie alebo inverzná funkcia k nejakému zobrazeniu (funkcii) f: A \rightarrow B priraďuje prvkom množiny B prvky z množiny A , teda priraďuje obrazom zobrazení f ich vzory. Inak povedané, inverzné zobrazenie zobrazuje „opačným smerom“ ako pôvodné zobrazenie.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je f: A \rightarrow B zobrazenie, resp. f = \left \lbrace (a, b) | a \in A, b \in B \right \rbrace, potom inverzné zobrazenie je f^{-1}: B \rightarrow A také, že f^{-1}(b) = a \Leftrightarrow f(a) = b resp. tiež (b, a) \in f^{-1} \Leftrightarrow (a, b) \in f (tu f a f^{-1} sú v zmysle relácie). Z toho vyplýva, že zobrazenie f musí byť prosté, tzn. rôznym prvkom a, a' musí priraďovať rôzne prvky b, b' - inak by nebolo jednoznačne určené, na čo sa má zobraziť prvok b v inverznom zobrazení.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Inverzné zobrazenie je:

Ku každému vzájomne jednoznačnému zobrazeniu je možno nájsť zobrazenie inverzné.

Inverzné funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Majme funkciu y = f(x) s definičným oborom D s oborom hodnôt V. Inverznú funkciu k funkcii f nazveme funkciou x = g(y) s definičným oborom V, ktorá každému y \in V priradí práve to x \in D, pre ktoré platí y = f(x). Inverzná funkcia k funkcii f býva tiež zapisovaná ako f^{-1}.

Ak jef prostá funkcia, potom k nej je možné nájsť inverznú funkciu. V takom prípade je graf inverznej funkcie k f osovo súmerný s grafom f podľa osi 1. a 3. kvadrantu. Z toho vyplýva, že identická funkcia f(x) = x je inverzná sama k sebe.