Inverzné zobrazenie (funkcia)

Inverzné zobrazenie alebo inverzná funkcia k nejakému zobrazeniu (funkcii) $f: A \rightarrow B$ priraďuje prvkom množiny B prvky z množiny A , teda priraďuje obrazom zobrazení f ich vzory. Inak povedané, inverzné zobrazenie zobrazuje „opačným smerom“ ako pôvodné zobrazenie.

Definícia

Ak je $f: A \rightarrow B$ zobrazenie, resp. $f = \left \lbrace (a, b) | a \in A, b \in B \right \rbrace$, potom inverzné zobrazenie je $f^{-1}: B \rightarrow A$ také, že $f^{-1}(b) = a \Leftrightarrow f(a) = b$ resp. tiež $(b, a) \in f^{-1} \Leftrightarrow (a, b) \in f$ (zde f a $f^{-1}$ sú v zmysle relácie). Z toho vyplýva, že zobrazenie f musí byť prosté, tzn. rôznym prvkom $a, a'$ musí priraďovať rôzne prvky $b, b'$ - inak by nebolo jednoznačne určené, na čo sa má zobraziť prvok b v inverznom zobrazení.

Vlastnosti

Inverzné zobrazenie je:

• jednoduché
• surjektívne („na“)
• $f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x$

Ku každému vzájomne jednoznačnému zobrazeniu je možno nájsť zobrazenie inverzné.

Inverzné funkcie

Majme funkciu $y = f(x)$ s definičným oborom $D$ s oborom hodnôt $V$. Inverznú funkciu k funkcii $f$ nazveme funkciou $x = g(y)$ s definičným oborom $V$, ktorá každému $y \in V$ priradí práve to $x \in D$, pre ktoré platí $y = f(x)$. Inverzná funkcia k funkcii $f$ býva tiež zapisovaná ako $f^{-1}$.

Ak jef prostá funkcia, potom k nej je možné nájsť inverznú funkciu. V takom prípade je graf inverznej funkcie k f osovo súmerný s grafom f podľa osi 1. a 3. kvadrantu. Z toho vyplýva, že identická funkcia $f(x) = x$ je inverzná sama k sebe.