Preskočiť na obsah

Tálesova veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
(Presmerované z Tálesova kružnica)
Úsečka AC je priemer, uhol pri bode B má konštantnú veľkosť 90° (pravý uhol)
Tálesova veta: keď AC je priemer, potom uhol v bode B bude pravý.

V geometrii Tálesova veta (pomenovaná podľa gréckeho filozofa Tálesa z Milétu) hovorí, že ak A, B, C sú body na kružnici, kde AC je priemer kružnice, potom uhol ABC je pravý uhol.

Obrázok ku dôkazu.

Pri dôkaze použijeme nasledovné tvrdenia:

Nech je stred kružnice. Keďže platí , a sú rovnoramenné trojuholníky a na základe rovnosti základňových uhlov rovnoramenných trojuholníkov, a . Označme uhly a . Tri vnútorné uhly trojuholníka sú potom , a . Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180°:

z toho vyplýva po úprave

,

čo bolo treba dokázať.

Zovšeobecnenie

[upraviť | upraviť zdroj]

Tálesova veta je špeciálnym prípadom nasledovnej vety:

Nech sú dané tri body , a na kružnici so stredom , potom uhol je dvakrát taký veľký ako uhol .

Dôkaz tejto vety je podobný ako dôkaz Tálesovej vety uvedený vyššie.

Aplikácie

[upraviť | upraviť zdroj]
Konštrukcia dotyčnice využitím Tálesovej vety.

Tálesovu vetu môžeme použiť na konštrukciu dotyčnice danej kružnice, ktorá pretína daný bod (pozri obrázok). Nech je daná kružnica k so stredom O a vonkajší bod P mimo kružnice, chceme skonštruovať (na obrázku červenú) dotyčnicu (dotyčnice) kružnice k, ktorá pretína bod P. Označme bod, v ktorom sa (zatiaľ neznáma) dotyčnica t dotýka kružnice ako T. Zo symetrie je zrejmé, že polomer OT je kolmý na túto dotyčnicu. Nájdime stred H na úsečke spájajúcej body O a P a obkreslime kružnicu so stredom H cez tieto body. Podľa Tálesovej vety je hľadaný bod T priesečník tejto kružnice s danou kružnicou k, pretože to je bod na kružnici k, ktorý tvorí s bodmi O a P pravouhlý trojuholník OTP.

Pretože spomínané dve kružnice sa pretnú v dvoch bodoch, týmto spôsobom môžeme zostrojiť obe dotyčnice.

Táles nebol prvý, ktorý formuloval túto vetu, keďže Egypťania aj Babylončania ju poznali, pravdepodobne empiricky, pretože sa nenašli žiadne dokumenty s jej dôkazom. Veta je pomenovaná po Tálesovi, ktorému sa pripisuje jej prvý dôkaz. Táles použil svoje vlastné výsledky o základňových uhloch rovnoramenného trojuholníka a súčte vnútorných uhlov v trojuholníku.

Externé odkazy

[upraviť | upraviť zdroj]