Vrchol (teória grafov)

Vrchol alebo staršie uzol ako pojem teórie grafov znamená akýsi bod v grafe, ktorý obvykle znázorňuje uzol či sídlo. Všetky vrcholy grafu G = (V, H) sú zoskupené v množine V.

Okolím vrcholu u nazývame graf (resp. digraf) O(u), ktorého množina vrcholov pozostáva z druhých koncov hrán incidentných s vrcholom u a samotného vrchola u. Hranová množina okolia vrcholu pozostáva zo všetkých hrán incidentných s týmto vrcholom.

Ak je G = (V, H) digraf, potom doprednou hviezdou vrcholu u je graf F(u), ktorý je podgrafom okolia O(u) obsahujúcim iba hrany, v ktorých je u začiatočným vrcholom a ich konečné vrcholy. Analogicky definícia spätnej hviezdy vrcholu u znie, že je to graf B(u), ktorý je podgrafom okolia O(u), obsahujúcim iba hrany, v ktorých je u koncovým vrcholom a ich začiatočné vrcholy.

Stupeň vrchola deg(u) v grafe G = (V, H) je rovný počtu hrán incidentných s vrcholom u. Vstupným (resp. výstupným) stupňom sa potom rozumie počet hrán, ktoré do vrchola v vstupujú (resp. z neho vychádzajú).

Vlastnosti

• Súčet stupňov všetkých vrcholov grafu sa rovná dvojnásobku počtu hrán.

$\sum _{u\in V}deg(u)=2.|H|$

Dôkaz vety

Budeme postupovať indukciou vzhľadom na číslo $q$ (počet hrán). Ak $q=0$, tak v $G$ neexistuje hrana, preto všetky vrcholy sú izolované. V tomto prípade tvrdenie vety je zrejme pravdivé. Teraz predpokladajme, že tvrdenie je pravdivé pre všetky grafy, v ktorých $q=n-1$. Zoberme ľubovolný graf $G$ o $n$ hranách. Vynechajme z $G$ jednu hranu $ab$; dostaneme graf $G'$ o $n-1$ hranách, ktorého súčet stupňov vrcholov je (podľa indukčného predpokladu) rovný $2(n-1)$. Ak však pridáme naspäť hranu $ab$, zväčší sa o jednotku stupeň vrchola $a$ aj $b$, teda celkový súčet vrcholov sa zväčší o 2 a bude sa rovnať $2n$. Tým je dôkaz ukončený.

Dôsledok vety

Z uvedenej vety a jej dôkazu bezprostredne vyplýva, že v konečnom neorientovanom grafe je počet vrcholov nepárneho stupňa párne číslo. Špeciálny prípad tohto dôsledku je fakt, že neexistuje graf, ktorý by obsahoval jediný vrchol nepárneho stupňa). Dôkaz je založený na fakte, že súčet nepárneho počtu nepárnych čísel je nepárne číslo.

• Počet vrcholov nepárneho stupňa v ľubovoľnom grafe je párny.
• Ak G = (V, H) je netriviálny graf, potom obsahuje aspoň dva vrcholy rovnakého stupňa.

Literatúra

• Znám, Š: Kombinatorika a teória grafov. Bratislava, Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského. 1982, s. 37