Bézierova krivka

Príklad použitia Bézierovej krivky

Bézierova krivka je jednou z mnohých parametrických kriviek. Umožňuje interaktívne vytváranie a modifikáciu svojho tvaru. Pomocou Bézierovej krivky je možno reprezentovať aj interpolačné krivky (existujú napríklad algoritmy na prevod medzi interpolačnými spline kubikami a B-spline kubikami resp. Bézier kubikami).

Definícia

Skladanie Bézierových kriviek

Bézierova krivka n-tého stupňa pre n+1 zadaných kontrolných bodov, ktoré tvoria tzv. riadiaci polygón, je pre $t \in < 0,1 >$ definovaná ako

$C(t)= \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i$,

pričom $B_{i,n}(t)$ je i-tý Bernsteinov polynóm n-tého stupňa:

$B_{i,n}(t)= \binom n i t^i (1-t)^{n-i}$

Bernsteinove polynómy tvoria bázu vektorového priestoru polynómu a spĺňajú rekurentný vzorec:

$B_{i,n}(t) = (1-t) \cdot B_{i,n-1}(t) + t \cdot B_{i-1,n-1}(t)$,

navyše $B_{i,n} = 0 \ \forall \ (i < 0) \or (i > n)$, ďalej $B_{0,0}=1$. Je tak možný stabilný číselný rekurzívny výpočet hodnoty Bézierovej krivky pomocou Casteljauho algoritmu:

$\begin{align}C_i^0(t) & = P_i \\ C_i^j(t) & = (1-t)C_i^{j-1}(t) + tC_{i+1}^{j-1}(t) \begin{cases} j=1,...,n \\ i=0,...,n-j. \end{cases}\end{align}$

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Bézierova křivka na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Bézierova krivka