Vektorový priestor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovboľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému c \in F, \alpha \in V priradený prvok c.a \in V, pričom:

1) (V,+) je komutatívna grupa

pre ľubovoľné \alpha, \beta \in V a c,d \in F platí:

2) c.(\alpha + \beta) = c.\alpha + c.\beta (distributívny zákon)
3) (c + d).\alpha = c.\alpha+d.\alpha
4) (c.d).\alpha = c(d.\alpha) (asociativita)
5) 1.\alpha = \alpha

potom V je vektorový priestor nad poľom F.

Vektorové priestory vo fyzike[upraviť | upraviť zdroj]

Bra-Ket formalizmus[upraviť | upraviť zdroj]

Vektory \mid\alpha_i\rangle tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

\sum_i\lambda_i\mid\alpha_i\rangle

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty \lambda_i komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

\sum_i\lambda_i\mid\alpha_i\rangle \rightarrow \sum_i\langle\alpha_i\mid\lambda_i^*,

kde hviezdička * označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechanikyket-vektory \mid\alpha_i\rangle vlnové funkcie \phi_i a bra-vektory \langle\alpha_i\mid sú komplexne združené vlnové funkcie \psi_i^*. Skalárny súčin

\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor \mid\alpha\rangle a bra-vektor \langle\alpha^'\mid. Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

\langle\alpha\mid\alpha^'\rangle=\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle^*.

Dôsledkom toho je, že \langle\alpha\mid\alpha\rangle je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

\langle\alpha\mid\alpha\rangle > 0.

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že \langle\alpha\mid\alpha\rangle zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru \mid\alpha\rangle. V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

\int \psi^{'*}\psi,dx, ktorý má zjavne vlastnosť \langle\alpha\mid\alpha^'\rangle=\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle^*, rovnako ako

\int \psi^{*}\psi,dx má vlastnosť \langle\alpha\mid\alpha\rangle > 0, pretože \psi^*\psi=\mid\psi\mid^2 je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že \mid\alpha\rangle a \lambda\mid\alpha\rangle vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo \lambda.