Vektorový podpriestor

Vektorový podpriestor alebo lineárny podpriestor je v lineárnej algebre taká podmnožina iného vektorového priestoru, ktorá sama tvorí vektorový priestor.

Definícia

Nech $V(F)$ je vektorový priestor a nech $S$ je neprázdna podmnožina množiny $V$. Potom $S$ nazývame podpriestor vektorového priestoru $V(F)$ , ak spolu s operáciami $V(F)$ tvorí vektorový priestor nad poľom $F$ .

Veta

Nech $V(F)$ je vektorový priestor a nech $S$ je neprázdna podmnožina množiny $V$ .Potom $S$ je podpriestor práve vtedy, keď pre všetky $\alpha ,\beta \in S$ a $c\in F$ platí

1. a) $\alpha +\beta \in S$
2. b) $c.\alpha \in S$

Veta 1

Podpriestory $A_{r}$, $A_{s}$ majú neprázdny prienik práve vtedy, ak existujú vektory ${\vec {v}}\in V_{r}$ a ${\vec {w}}\in V_{s}$ také, že platí $A-B={\vec {v}}+{\vec {w}}$

Špeciálny prípad vety 1.

Priamky $p[A;{\vec {u}}]$ a $q[{B;{\vec {v}}}]$ majú neprázdny prienik práve vtedy, keď vektor A-B je lineárnou kombináciou ${\vec {u}},{\vec {v}}$

Dôkaz

1. $P=A+\alpha .{\vec {v}}$ , $P=B+\beta .{\vec {v}}$
2. $A+\alpha .{\vec {v}}=B+\beta .{\vec {v}}$
3. $A-B=-\alpha .{\vec {v}}+\beta .{\vec {v}}$

Dôkaz vety 1 urobíme analogicky.

Veta 2

Ak $A_{r}$ a $A_{s}$ sú podpriestory $A_{n}$ s neprázdnym prienikom, tak ich prienik $A_{r}\cap A_{s}$ je afinný podpriestor so zameraním $V_{r}\cap V_{s}$.

Dôkaz

Vetu 2 dokážeme tak, že ukážeme, že body a vektory z prieniku spĺňajú nasledujúce podmienky:

1. a) Ak body $M$ a $N$ patria do $A_{r}\cap A_{s}$ , tak vektor ${\vec {u}}=M-N$ patrí do

$Vr\cap Vs$.

1. b) Ak bod $M$ patrí do $A_{r}\cap A_{s}$ a ${\vec {u}}$ patrí do $Vr\cap Vs$, tak bod $X=M+{\vec {u}}$ patrí do $A_{r}\cap A_{s}$.

Toto je však triviálne, lebo ak bod $X\in A_{r}$ aj $X\in A_{s}$ , tak $X\in A_{r}\cap A_{s}$ pričom analogické tvrdenie platí pre vektory.

Veta 3

Podpriestory $A_{r}$ a $A_{s}$ sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom ich prienik je (r − 1)-rozmerný podpriestor.

Náznak dôkazu

Môžeme predpokladať, že podpriestory nie sú rovnobežné (t. j. $V_{n}\not \subset V_{s}$), pretože v opačnom prípade je už splnené tvrdenie vety. Z tohto predpokladu vyplýva, že existuje vektor ${\vec {u}}\in V_{r}$ a súčasne ${\vec {u}}\not \in V_{n-1}$. Bez ujmy na všeobecnosti, môžeme vytvoriť bázu $V_{r}$ tak, aby ${{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},...,{\vec {v}}_{r-1},{\vec {v}}_{r}={\vec {u}}}$. Nech ${{\vec {w_{1}}},{\vec {w_{2}}},...,,{\vec {w}}_{n-1}}$. je bázou $V_{n-1}$. (Z predpokladu ${{\vec {v}}_{r}={\vec {u}}}$ vyplýva, že každý z vektorov ${{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},...,{\vec {v}}_{r-1}}$ je lineárnou kombináciou vektorov ${{\vec {w_{1}}},{\vec {w_{2}}},...,,{\vec {w}}_{n-1}}$. Pretože ${{\vec {w_{1}}},{\vec {w_{2}}},...,,{\vec {w}}_{n-1},{\vec {v}}_{r}}$ je báza $V_{n}$ pomocou nich je možné vyjadriť aj vektor (A − B). Podľa vety 1. podpriestory $A_{r}$ a $V_{n-1}$ sú rôznobežné.

Dôsledky vety 3

Z vety 3 vyplýva hneď niekoľko dôsledkov a síce:

1. Dve priamky v $A_{2}$ nemôžu mať práve dva spoločné body.
2. Dve priamky v $A_{2}$ sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
3. Rovina a priamka v $A_{3}$ sú rovnobežné alebo majú práve jeden spoločný bod.
4. Dve roviny v $A_{3}$ sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

A mnohé ďalšie.

Literatúra

• M. Lavička: KMA/G1 Geometrie 1. Pomocný učebný text. Plzeň, Západočeská univerzita v Plzni. 2005, s. 7-11
• M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 9-11

Pozri aj

• Vektor (matematika)
• Skalár
• Vektorový priestor
• Priamka
• Rovina_(geometria)

Externé odkazy

• Algebra - Vektorový priestor
• Lineárna algebra^{[nefunkčný odkaz]}