Unitárny priestor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Unitárny priestor (tiež priestor so skalárnym súčinom, predhilbertovský priestor alebo nesprávne euklidovský priestor) je lineárny priestor, na ktorom je definovaný skalárny súčin (v cudzích jazykoch nazývaný aj vnútorný súčin). Pomocou skalárneho súčinu sa na priestore dajú rozumne definovať geometrické pojmy uhol a vzdialenosť, čím na priestore vzniká dodatočná geometrická štruktúra. Pomenovanie predhilbertovský priestor poukazuje na skutočnosť, že ľubovolné jeho zúplnenie je Hilbertov priestor.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Unitárny priestor je lineárny priestor nad poľom F reálnych alebo komplexných čísiel na ktorom je navyše definovaný skalárny súčin, to jest zobrazenie

\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbf{F}

také že pre ľubovoľné vektory x,y,v\in V a pre ľubovoľné číslo \alpha z F platí:

  1. \langle x,x\rangle=0 vtedy a len vtedy ak x=\overline{0}
  2. \langle x,x\rangle\ge 0
  3. \langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}
  4. \langle x+y,u\rangle = \langle x,u\rangle + \langle y,u\rangle
  5. \langle \alpha x,u\rangle = \alpha\langle x,u\rangle

Alternatívna definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Vlastnosť 4 z definície skalárneho súčinu hovorí, že skalárny súčin je aditívna funkcia svojho prvého argumentu. Vlastnosť 5 zase hovorí, že skalárny súčin je vo svojom prvom argumente homogénny vzhľadom k násobeniu prvkami z F. Z toho okamžite vyplýva, že skalárny súčin je vo svojom prvom argumente lineárny. Ďalej, z vlastnosti 3 okamžite vyplynie, že skalárny súčin je lineárny aj vo svojom druhom argumente a teda je to bilineárna forma.

Každá bilineárna forma prirodzeným sposobom indukuje kvadratickú formu. V reči foriem sa dajú vlastnosti 1 a 2 formulovať tak, že kvadratická forma indukovaná skalárnym súčinom je kladne definitná.

Tieto úvahy umožňujú reformulovať definíciu skalárneho súčinu. Skalárny súčin je potom akákoľvek bilineárna forma ktorá indukuje kladne definitnú kvadratickú formu.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Euklidovské priestory[upraviť | upraviť zdroj]

Euklidovský priestor dimenzie n\in\mathbb{N}, čiže množina \mathbb{R}^{n} spolu so skalárnym súčinom

\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}

je dôležitým príkladom unitárneho priestoru.