Lineárny priestor

Lineárny priestor alebo vektorový priestor je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovboľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému $c \in F$, $\alpha \in V$ priradený prvok $c.a \in V$, pričom:

1) $(V,+)$ je komutatívna grupa

pre ľubovoľné $\alpha$, $\beta$ $\in$ V a c,d $\in$ F platí:

2) $c.(\alpha + \beta) = c.\alpha + c.\beta$ (distributívny zákon)

3) $(c + d).\alpha = c.\alpha+d.\alpha$

4) $(c.d).\alpha = c(d.\alpha)$ (asociativita)

5) $1.\alpha = \alpha$

potom $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$.

Lineárne Priestory vo Fyzike

Bra-Ket Formalizmus

Vektory $\mid\alpha_i\rangle$ tvoria lineárny priestor (alebo vektorový priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

$\sum_i\lambda_i\mid\alpha_i\rangle$

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty $\lambda_i$ komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

$\sum_i\lambda_i\mid\alpha_i\rangle \rightarrow \sum_i\langle\alpha_i\mid\lambda_i^*$,

kde hviezdička $*$ označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory $\mid\alpha_i\rangle$ vlnové funkcie $\phi_i$ a bra-vektory $\langle\alpha_i\mid$ sú komplexne združené vlnové funkcie $\psi_i^*$. Skalárny súčin

$\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle$

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor $\mid\alpha\rangle$ a bra-vektor $\langle\alpha^'\mid$. Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

$\langle\alpha\mid\alpha^'\rangle=\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle^*$.

Dôsledkom toho je, že $\langle\alpha\mid\alpha\rangle$ je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

$\langle\alpha\mid\alpha\rangle > 0$.

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že $\langle\alpha\mid\alpha\rangle$ zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru $\mid\alpha\rangle$. V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

$\int \psi^{'*}\psi,dx$, ktorý má zjavne vlastnosť $\langle\alpha\mid\alpha^'\rangle=\langle\alpha^'\mid\alpha\rangle^*$, rovnako ako

$\int \psi^{*}\psi,dx$ má vlastnosť $\langle\alpha\mid\alpha\rangle > 0$, pretože $\psi^*\psi=\mid\psi\mid^2$ je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že $\mid\alpha\rangle$ a $\lambda\mid\alpha\rangle$ vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo $\lambda$.