Determinant (matematika)

Grafické znázornenie Sarrusovho pravidla

Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.

Značenie

Determinant matice $\mathbf{A}$ značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky $\mathbf{a}_{ij}$ nasledovným spôsobom:

$\det \mathbf{A}$

V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov $\mathbf{a}_{ij}$ matice $\mathbf{A}$ používame nasledujúce značenie:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$,

Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie:

$\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}$.

Definícia determinantu

Všeobecná definícia

Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu $\mathbf{A} = ({a_i}_j) \,$ rozmeru $n \times n$ definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):

$\det\mathbf{A} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n {a}_{i,\sigma(i)}$

Znak $\sum_{\sigma \in S_n}$ znamená sumu cez všetky permutácie $\sigma$ čísel ${1,2, \cdots, n}$. Znakom $\sgn(\sigma)$ označujeme znamienko permutácie $\sigma$. Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel ${1,2, \cdots, n}$ sa v Leibnitzovej formule vyskytuje $n!$ sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.

Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu $\varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n}$:

$\det \mathbf{A} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{j_1 1} a_{j_2 2} \cdots a_{j_n n}$

Špeciálny prípad

Matica rádu 1

Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla $\mathbf{{a_1}_1}$. Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku:

$\det\mathbf{A} = {a_1}_1 \,$

Matica rádu 2

Pre maticu rádu dva (teda rozmeru 2×2) vedie obecná definícia k nasledujúcemu vzorcu:

$\det\mathbf{A} = {a_1}_1{a_2}_2 - {a_2}_1{a_1}_2 \,$

Matica rádu 3

Maticu rádu tri (teda rozmeru 3×3) je možné indexovať troma číslami: 1, 2 a 3. Výsledný vzorec bude preto obsahovať šesť sčítancov, pretože podľa definície sumujeme cez všetky permutácie takýchto indexov:

$\det\mathbf{A} = {a_1}_1{a_2}_2{a_3}_3 + {a_1}_3{a_2}_1{a_3}_2 + {a_1}_2{a_2}_3{a_3}_1 - {a_1}_3{a_2}_2{a_3}_1 - {a_1}_1{a_2}_3{a_3}_2 - {a_1}_2{a_2}_1{a_3}_3 \,$

Vhodnou mnemotechnickou pomôckou pre výpočty podľa vyššie uvedeného vzorca sa ukazuje byť takzvané Sarrusovo pravidlo.

Výpočet determinantu

Determinant môžeme vypočítať viacerými spôsobmi.

Sarrusovo pravidlo

Sarrusovo pravidlo má viacero podôb. Všeobecne (a najčastejšie) sa využíva pre počítanie determinantu matíc typu 3 x 3.

Postup: K matici pripíšeme na pravú stranu ešte raz jej prvý a druhý stĺpec v tomto poradí. Potom vyrátame všetky diagonálne súčiny, ktoré majú po tri činitele. Spolu je takýchto súčinov šesť. Výslednú sumu tvorí súčet týchto šiestich súčinov, pričom zo znamienkom "+" sú tie tri z nich, ktoré sú rovnobežné s hlavnou diagonálou, so znamienkom "-" sú zvyšné tri z nich, tj. tie, ktoré sú rovnobežné s vedľajšou diagonálou.

Názorná schéma:

$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32}\end{matrix}$

Teda:
$a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

Laplaceova veta o rozvoji determinantu podľa jedného riadka, resp. stĺpca

Majme štvorcovú maticu $A = (a_{ij}) \in M_{n,n}(R)$. Potom pre každé $t \in {1, ..., n}$ existuje nasledujúce vyjadrenie rozvoja determinantu matice A podľa t-teho riadka:

$det(A) = \sum_{k=1}^n a_{tk}(-1)^{t+k} det(M_{tk})$

pričom matica $M_{tk}$ je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním t-teho riadka a k-teho stĺpca. Analogicky sa dá odvodiť vzorec pre rozvoj determinantu podľa t-teho stĺpca:

$det(A) = \sum_{k=1}^n a_{kt}(-1)^{k+t} det(M_{kt})$

pričom matica $M_{kt}$ je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním k-teho riadka a t-teho stĺpca.

Všeobecná Laplaceova veta o rozvoji determinantu

Nech je daná matica $A = (a_{ij}) \in M_{n,n}(R)$. Pevne zvoľme čísla $i_{1}, ..., i_{k}$ (kde k je ľubovoľné, pevne zvolené číslo z množiny {1, ..., n - 1}) také, že: $i_{1} < i_{2} < ... < i_{k}$.

Potom:

$det(A) = \sum_{1<={j}_1<...<j_{k}<=n} det(A_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}}) . (-1)^{i_{1} + ... + i_{k} + j_{1} + ... + j_{k}} . det(M_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}})$

kde:

• $A_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}}$ je podmatica matice $A = (a_{ij} \in M_{n,n}(R))$ typu k x k, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami $i_{1}, ... , i_{k}$ a stĺpcov s indexami $j_{1}, ... , j_{k}$ (pričom platí: $j_{1} < j_{2} < ... < j_{k}$).
• $M_{j_{1}, ..., j_{k}}^{i_{1}, ..., i_{k}}$ je matica typu (n-k) x (n-k), ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami $i_{1}, ... , i_{k}$ a stĺpcov s indexami $j_{1}, ... , j_{k}$
• Algebraický doplnok determinantu $det(A_{j_1, ..., j_k}^{i_1, ..., i_k})$ je prvok takéhoto tvaru: $(-1)^{i_1 + ... + i_k + j_1 + ... + j_k} . det(M_{j_1, ..., j_k}^{i_1, ..., i_k})$

Základné vlastnosti determinantov

• Pre každú štvorcovú maticu $A = M_{n,n}(R)$ platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda $det(A) = det(A^T)$

• Ak matica B vznikne z matice $A = M_{n,n}(R)$ vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápo rnej hodnote determinantu matice A, teda

$det(B) = - det(A)$

• Nech $A = (a_{ij})$ je štvorcová matica stupňa n nad daným poľom R. Potom pre každe $r, s \in {1, ..., n}$ existuje algebraický doplnok $A_{rs}$ a má tvar:

$A_{rs} = (-1)^{r + s} det(M_{rs})$

pričom $M_{rs}$ je štvorcová matica typu $(n - 1) \times (n - 1)$, ktorá vznikne z matice A vynechaním r-tého riadka a s-tého stĺpca.

• Ak matica $A = (a_{ij}) \in M_{n,n} (R)$ ($n>=2$) má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:

$det(A) = 0$

• Ak matica B vznikne z matice $A = (a_{ij}) \in M_{n,n} (R)$ tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme $\delta \in R$, tak:

$det(B) = \delta det(A)$

• Nech sú dané dve matice: $A = (a_{ij})$, $B = (B_{ij}) \in M_{n,n}(R)$. Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom k-tom riadku, pre niektoré $k \in {1, ..., n}$, tak potom platí:

$det(A) + det(B) = det \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{k - 1, 1} & ... & a_{k - 1, n} \\a_{k1} + b_{k1} & ... & a_{kn} + b_{kn} \\ a_{k + 1, 1} & ... & a_{k + 1, n} \\ ...& ... & ... \\a_{n1} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}$

• Ak je v matici $A \in M_{n,n} (R)$ aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:

$det(A) = 0$

• Majme maticu $A = (a_{ij}) \in M_{n,n}(R)$, ($n>=2$). Ak matica B vznikne z matice A prirátaním $\alpha$-násobku ($\alpha \in R$) hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v A. Potom platí:

$det(B) = det(A)$

Pozri aj

• Matica (matematika)
• Lineárny priestor

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Determinant (matematika)

Literatúra

• KORBAŠ, Július. Lineárna algebra a geometria I. [s.l.] : Vydavateľstvo U, Univerzita Komenského v Bratislave, Prvé vydanie, 2003.

Externé odkazy

• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikácia, ktorá vypočíta determinant z matice rádu 2-8