Ortonormálna báza

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Ortonormálna báza unitárneho priestoru je pojem z lineárnej algebry a fukcionálnej analýzy, označuje podpriestor tohto vektorového priestoru, ktorého prvky sú normované a navzájom ortogonálne.

Tento pojem je dôležitý pre konečno rozmerné ako aj nekonečno rozmerné priestory a špeciálne pre Hilbertové priestory.

Konečno rozmerné priestory[upraviť | upraviť zdroj]

Nech V je konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor so skalárnym súčinom \langle \cdot, \cdot \rangle, ktorý indukuje normu: \|\cdot\|. Pod ortonormálnou bázou priestoru V potom rozumieme bázu B = \{b_1,\ldots,b_n\} z  V s týmito vlastnosťami:

  • \|b_i\| = 1 pre všetky i\in\{1,\ldots,n\}.
  • \langle b_i, b_j \rangle = 0 pre všetky i,j \in\{1,\ldots,n\} s i \neq j.

Napríklad nasledujúca množina je ortonormálnou bázou euklidovského vektorového priestoru \mathbb{R}^3 (spolu s prirodzene definovaným skalárnym súčinom).

\vec i = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec j = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec k = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Každý z týchto vektorov má dĺžku 1 a všetky sú na seba kolmé pretože ich skalárny súčin je nula.

Všeobecný prípad[upraviť | upraviť zdroj]

Vo všeobecnom prípade unitárneho priestoru  V nekonečnej dimenzie, nazývame ortonormálnym systémom  S vo  V taký systém, ktorého lineárny obal leží husto vo  V .

Úplný ortonormálny systém S má preto tú vlastnosť, že pre každý prvok v \in V môžeme písať fourierov rozvoj:

v=\sum_{u \in S} \langle v, u \rangle u .

Je dôležité zdôrazniť, že v zmysle tohto odseku, v protiklade k prípadu s konečnou dimenziou, nie je ortonormálna báza žiadnou bázou v bežnom zmysle lineárnej algebry. To znamená, že prvok  v sa nedá vo všeobecnosti napísať ako lineárna kombinácia konečného počtu bázových vektorov (prvkov z  S ), ale len ako suma spočítateľného nekonečného počtu prvkov z  S , teda ako nekonečný rad. Inými slovami: Lineárny obal nie je rovný priestoru  V , leží ale husto v tomto priestore.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]