Ortonormálna báza

Ortonormálna báza unitárneho priestoru je pojem z lineárnej algebry a fukcionálnej analýzy, označuje podpriestor tohto vektorového priestoru, ktorého prvky sú normované a navzájom ortogonálne.

Tento pojem je dôležitý pre konečno rozmerné ako aj nekonečno rozmerné priestory a špeciálne pre Hilbertové priestory.

Konečno rozmerné priestory

Nech $V$ je konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor so skalárnym súčinom $\langle \cdot, \cdot \rangle$, ktorý indukuje normu: $\|\cdot\|$. Pod ortonormálnou bázou priestoru $V$ potom rozumieme bázu $B = \{b_1,\ldots,b_n\}$ z $V$ s týmito vlastnosťami:

• $\|b_i\| = 1$ pre všetky $i\in\{1,\ldots,n\}$.
• $\langle b_i, b_j \rangle = 0$ pre všetky $i,j \in\{1,\ldots,n\}$ s $i \neq j$.

Napríklad nasledujúca množina je ortonormálnou bázou euklidovského vektorového priestoru $\mathbb{R}^3$ (spolu s prirodzene definovaným skalárnym súčinom).

$\vec i = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec j = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec k = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Každý z týchto vektorov má dĺžku 1 a všetky sú na seba kolmé pretože ich skalárny súčin je nula.

Všeobecný prípad

Vo všeobecnom prípade unitárneho priestoru $V$ nekonečnej dimenzie, nazývame ortonormálnym systémom $S$ vo $V$ taký systém, ktorého lineárny obal leží husto vo $V$.

Úplný ortonormálny systém $S$ má preto tú vlastnosť, že pre každý prvok $v \in V$ môžeme písať fourierov rozvoj:

$v=\sum_{u \in S} \langle v, u \rangle u$.

Je dôležité zdôrazniť, že v zmysle tohto odseku, v protiklade k prípadu s konečnou dimenziou, nie je ortonormálna báza žiadnou bázou v bežnom zmysle lineárnej algebry. To znamená, že prvok $v$ sa nedá vo všeobecnosti napísať ako lineárna kombinácia konečného počtu bázových vektorov (prvkov z $S$), ale len ako suma spočítateľného nekonečného počtu prvkov z $S$, teda ako nekonečný rad. Inými slovami: Lineárny obal nie je rovný priestoru $V$, leží ale husto v tomto priestore.

Pozri aj

• Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces