Hilbertov priestor

Hilbertovský priestor je vektorový priestor so skalárnym súčinom, ktorý je navyše úplný vzhľadom k metrike týmto skalárnym súčinom indukovanej.

Príklady

• Priestor usporiadaných reálnych $n$-tíc $\textstyle\mathbb{R}^{n}$ spolu so štandardným skalárnym súčinom $\textstyle\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ je Hilbertov priestor

• Vo funkcionálnej analýze sa študujú príklady nekonečne generovaných Hilbertových priestorov. Napríklad priestor $\textstyle\ell^2(\mathbb{N})=\left\{ \mathbf{x}\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}\,|\,\sum_{i \in\mathbb{N}} |x(i)|^{2} < \infty \right\}$ všetkých kvadraticky sumovateľných komplexných postupností spolu s vnútorným súčinom $\textstyle \langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\sum_{i\in\mathbf{N}} \overline{x(i)} y(i)$.

Časté nedorozumenia

Nie je pravda, že Hilbertove priestory sú nutne nekonečne generované. Táto mylná predstava o obsahu pojmu Hilbertov priestor je však mimoriadne častá a to hlavne v komunite fyzikov. Je totiž pravda, že fyzikálne zaujímavé sú práve rôzne lineárne priestory funkcií ktoré konečne generované nie sú.