Kvantová mechanika

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Pre všeobecne prístupné a menej technické objasnenie základov tejto témy pozri Úvod do kvantovej mechaniky
Obr. 1: Hustoty pravdepodobnosti korešpondujúce k vlnovým funkciám elektrónu v atóme vodíka. Vlnové funkcie majú definitívne hodnoty energie zväčšujúce sa v smere zhora nadol v závislosti od kvantového čísla n (na obrázku zobrazené len tri). Momenty hybnosti sa zväčšujú v smere zľava doprava (s najnižší, d najvyšší). Jasnejšie oblasti korešpondujú s vyššou hustotou pravdepodobnosti pozície elektrónu.

Kvantová mechanika je časť teoretickej fyziky, ktorá skúma a vysvetľuje zákonitosti správania sa mikročastíc, atómov, molekúl a atómovych jadier, t. j. objektov, ktorých lineárne rozmery sú 10−6 až 10−13 m.[1][2] Je to fundamentálna fyzikálna teória, ktorá rozširuje, opravuje a spája Newtonovskú mechaniku a Maxwellovu teóriu elektromagnetizmu na atomárnej a subatomárnej úrovni. Je súčasťou kvantovej teórie.

Svoj názov dostala kvôli tomu, že hodnoty niektorých fyzikálnych veličín sa pri splnení určitých podmienok nemenia spojito, ale po množstvách (kvantách). Príkladom je elektrón vo viazanom stave (teda ak je súčasťou atómu alebo molekuly), v ktorom jeho energia a moment hybnosti sú kvantované. Energia voľného elektrónu má spojitý charakter.

Matematická formulácia kvantovej mechaniky je abstraktná a jej implikácie sú často neintuitívne. Základnou entitou, s ktorou v tomto matematickom systéme pracujeme, je vlnová funkcia. Ide o matematickú funkciu, ktorá obsahuje o systéme všetky informácie, ktoré môžeme mať. Poskytuje informácie o polohe a hybnosti častice, ale len v pravdepodobnostnom vyjadrení. Veľa výsledkov kvantovej fyziky je možné vyjadriť len matematicky. Modelovanie výsledkov nie je také jednoduché ako je tomu v prípade klasickej mechaniky alebo nie je vôbec možné. Napríklad základný stav v kvantovo-mechanickom modeli je stav s najnižšou energiou, ktorá je však nenulová. V klasickej fyzike modelujeme najnižší jednoducho ako stav s nulovou kinetickou energiou.

Kvantová mechanika sa opiera o hlbší stupeň vedeckého poznania než klasická fyzika a poskytuje aj všeobecnejšie zákony. Zákony klasickej fyziky sa javia z hľadiska kvantovej mechaniky ako aproximácie tejto novej teórie.

Základný prehľad[upraviť | upraviť zdroj]

Slovo kvantum pochádza z latinčiny a znamená „ako veľa“, „ako veľmi“, „koľko“, „pokiaľ“.[3][4] V kvantovej mechanike pomenúva diskrétny charakter niektorých fyzikálnych veličín ako je napríklad energia atómu.

Kvantová mechanika je nevyhnutná pre vysvetlenie javov takých vedeckých odvetví ako chémia, fyzika kondenzovaného stavu, fyzika pevných látok, atómová fyzika, molekulárna fyzika, počítačová chémia, počítačová fyzika, kvantová chémia, časticová fyzika, jadrová chémia a jadrová fyzika. Základy kvantovej mechaniky položili v prvej polovici 20. storočia fyzici Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli a iní.[5]

Kvantová mechanika je nevyhnutná pre pochopenie správania sa systémov na atómarnej a subatomárnej úrovni. Napríklad, ak by klasická mechanika mala popisovať fungovanie atómu, elektrón by sa zrútil do atómového jadra, čo by znamenalo, že stabilné atómy by neexistovali. V skutočnosti elektróny za normálnych podmienok zaujímajú miesto na svojich orbitáloch, čo je v rozpore s predpoveďou klasickej teórie elektromagnetizmu.[6]

Vo formalizme kvantovej mechaniky je stav systému v danom čase popísaný komplexnou vlnovou funkciou alebo všeobecne elementami komplexného vektorového priestoru.[7] Vlnová funkcia umožňuje vypočítať pravdepodobnosť, s akou budú experimentálne namerané hodnoty fyzikálnych veličín. Napríklad môžeme vypočítať pravdepodobnosť s akou sa bude elektrón nachádzať na určitom mieste od jadra atómu. Na rozdiel od klasickej fyziky, nie je možné určiť hodnoty konjugovaných premenných s ľubovoľnou presnosťou (príkladom takýchto premenných je dvojica hybnosť-poloha častice). Táto principiálna nemožnosť je vyjadrená princípom neurčitosti.[8]

K formulácii kvantovej mechaniky viedlo riešenie problému absolútne čierneho telesa. Po tom ako Max Planck v roku 1900 objavil, že energia elektromagnetických vĺn by mohla byť emitovaná a absorbovaná po kvantách, Albert Einstein rozvinul túto myšlienku ďalej. Ukázal, že svetlo by mohlo byť chápané ako prúd častíc (fotónov), ktorých energia je závislá od ich frekvencie. Táto predstava viedla ku predstave vlnovo-časticového dualizmu.

Kvantová mechanika vysvetľuje a zakladá sa na fenoménoch, ktoré klasická fyzika nedokáže vysvetliť: i) kvantovanie niektorých fyzikálnych veličín, ii) vlnovo-časticový dualizmus, iii) princíp neurčitosti a iv) kvantové previazanie.

História[upraviť | upraviť zdroj]

História kvantovej mechaniky začala objavom katódového žiarenia Michaelom Faradayom v roku 1838, sformulovaním problémov ohľadne žiarenia čierneho telesa Gustavom Kirchhoffom v roku 1859, návrhom Ludwiga Boltzmanna v roku 1877, že energetické hladiny systému by mohli byť diskrétne a kvantovou hypotézou Maxa Plancka z roku 1900.[9] Planckova hypotéza predpokladala, že energia je absorbovaná a emitovaná v množstvách, ktoré sú deliteľné diskrétnymi energetickými kvantami, pričom takéto kvantum bolo úmerné frekvencii žiarenia ν:

 E = h \nu\

kde h je Planckova konštanta. Planck pri tom tvrdil, že toto je len aspekt procesov súvisiacich s absorpciou a emisiou a že to nemá nič spoločné s povahou šírenia žiarenia.[10] Táto hypotéza však nevysvetľovala fotoelektrický jav, v ktorom dochádza k emisii elektrónov niektorými materiálmi vystavenými žiareniu určitej frekvencie. V roku 1905 Albert Einstein vychádzajúc z Planckovej hypotézy postuloval, že elektromagnetické žiarenie sa šíri po kvantách.[11]

V polovici leta roku 1925 Niels Bohr a Werner Heisenberg zverejnili výsledky, ktoré viedli k uzatvoreniu tzv. starej kvantovej teórie. Svetelné kvantá sa od roku 1926 začali nazývať fotónmi. Solvay konferencia v roku 1927 viedla k širokej akceptácii kvantovej teórie.

Kvantová mechanika a klasická fyzika[upraviť | upraviť zdroj]

Predpovede kvantovej mechaniky majú vysokú mieru presnosti. Z toho podľa korešpondenčného princípu vyvodzujeme, že všetky objekty podliehajú zákonom kvantovej mechaniky. Zákony klasickej mechaniky sú len aproximáciou zákonov kvantovej mechaniky v prípadoch makrosystémov alebo veľkých kvantových čísel.[12]

Veľa makroskopických vlastností klasických systémov je priamym dôsledkom kvantového správania sa častíc. Tuhosť pevných látok a mechanické, termálne, chemické, optické a magnetické vlastnosti hmoty sú dôsledkom interakcií medzi elektrickými nábojmi správajúcimi sa podľa pravidiel kvantovej mechaniky.[13]

Exotické správanie sa hmoty opisované kvantovou mechanikou sa stáva zjavným pri extrémne malých objektoch. Klasická newtonovská fyzika je presnou v predpovedaní správania sa väčších objektov za predpokladu, že sa pohybujú rýchlosťou oveľa menšou ako je rýchlosť svetla.[14]

Teória[upraviť | upraviť zdroj]

Existujú viaceré matematicky ekvivalentné formulácie kvantovej mechaniky. Jednou z najstarších a najrozšírenejších je transformačná teória navrhnutá Paulom Diracom. Zjednocuje a zovšeobecňuje maticovú mechaniku Wernera Heisenberga[15] a vlnovú mechaniku Erwina Schrödingera.[16]

V tejto formulácii, okamžitý stav kvantového systému poskytuje pravdepodobnosti jeho merateľných vlastností, tzv. pozorovateľných. Príkladmi pozorovateľných sú energia, poloha, hybnosť a moment hybnosti. Pozorovateľné môžu byť buď spojitého charakteru (napríklad poloha častice) alebo diskrétneho charakteru (napríklad energia elektrónu viazaného v atóme vodíka).[17]

Kvantová mechanika vo všeobecnosti neprideľuje pozorovateľným definitívne hodnoty. Namiesto toho predpovedá pravdepodobnosť, s akou bude pozorovateľná na systéme nameraná. Hodnota tejto pravdepodobnosti je závislá na tom, v akom kvantovom stave sa systém nachádza v okamihu merania, čo vedie k určitej miere neurčitosti. Sú však prípady, v ktorých pozorovateľným niektorých stavoch možno priradiť definitívne hodnoty. Tieto stavy poznáme pod označením vlastné stavy pozorovateľných. Vlnové funkcie sa môžu v čase meniť. Časový vývoj takýchto funkcií je predpovedaný Schrödingerovou rovnicou. Existujú však aj také vlnové funkcie, ktorých pravdepodobnostné hustoty sú konštantné a teda nezávislé od času. V takýchto prípadoch hovoríme o stacionárnych stavoch. Mnohé systémy, ktoré sú v klasickej mechanike popisované dynamicky, v kvantovej mechanike popisujeme takýmito statickými stavmi. Príkladom môže byť klasický model atómu, v ktorom elektrón obieha okolo jadra. V kvantovej mechanike nemôžeme tvrdiť, že elektrón sa v atóme pohybuje: pravdepodobnosť toho, že sa nachádza na určitom mieste sa s časom nemení. Napríklad v stave s je elektrón popísaný sféricky symetrickou vlnovou funkciou obklopujúcou jadro (Obr. 1; iba stavy s najnižším momentom hybnosti označené ako s sú sféricky symetrické).

Ako už bolo uvedené, časový vývoj vlnových funkcií je deterministický v tom zmysle, že ak poznáme vlnovú funkciu v čase t, vieme predpovedať ako bude vlnová funkcia vyzerať v budúcnosti.[18] V procese merania však dochádza ku kolapsu vlnovej funkcie; takúto zmenu vlnovej funkcie Schrödingerova rovnica nepopisuje.


Matematika kvantovej teórie[upraviť | upraviť zdroj]

V matematicky rigoróznej formulácii kvantovej mechaniky vypracovanej Paulom Diracom[19] a Johnom von Neumannom[20] sú možné stavy kvantovo mechanického systému reprezentované jednotkovými vektormi (nazývané aj stavové vektory) v komplexnom separabilnom Hilbertovom priestore (nazývanom stavový priestor alebo Hilbertov priestor prislúchajúci systému), ktorý je dobre definovaný pre komplexné čísla s absolútnou hodnotou menšou alebo rovnou 1 (pre absolútnu hodnotu rovnú 1 ide o fázový faktor).

Inými slovami, možné stavy sú body v projektivizácii Hilbertového priestoru, zvyčajne nazývanom komplexný projektívny priestor. Presný charakter daného Hilbertovho priestoru je však závislý od konkrétneho systému; napríklad, stavový priestor pre pozíciu a moment hybnosti je priestor funkcií s integrovateľnou druhou mocninou absolútnej hodnoty, stavový priestor pre spin protónu je len súčin dvoch komplexných rovín. Každá pozorovateľná veličina je reprezentovaná samoadjugovaným lineárnym operátorom na stavovom priestore. Každý vlastný stav pozorovateľnej veličiny zodpovedá vlastnému vektoru operátora a vlastné číslo prislúchajúce danému vlastnému vektoru zodpovedá hodnote pozorovateľnej veličiny v danom vlastnom stave. Ak je spektrum daného operátora diskrétne, pozorovateľná veličina môže nadobúdať iba tieto diskrétne hodnoty.

Zmena kvantového stavu v čase je popísaná Schrödingerovou rovnicou, v ktorej Hamiltonov operátor (operátor zodpovedajúci totálnej energii systému) je zdrojom zmeny v čase.

Skalárny súčin dvoch stavových vektorov je komplexné číslo známe ako amplitúda pravdepodobnosti. Počas merania je pravdepodobnosť zmeny stavu systému z počiatočného stavu do daného vlastného stavu daná štvorcom absolútnej hodnoty amplitúdy pravdepodobnosti medzi počiatočným a finálnymi stavmi. Možné výsledky merania sú vlastné vektory operátora, čo je dôvodom, prečo sa používajú hermitovské operátory, ktoré majú všetky vlastné čísla reálne. Rozdelenie pravdepodobnosti pre danú pozorovateľnú veličinu je možné nájsť pomocou spektrálneho rozkladu zodpovedajúceho operátora. Heisenbergov princíp neurčitosti je reprezentovaný tvrdením, že operátory zodpovedajúce určitým pozorovateľným veličinám nemusia komutovať.

Schrödingerova rovnica pracuje s celou amplitúdou pravdepodobnosti, nie len s jej absolútnou hodnotou. Kým absolútna hodnota pravdepodobnostnej amplitúdy obsahuje informáciu o pravdepodobnostiach, jej fáza obsahuje informáciu o interferencii medzi kvantovými stavmi. Toto je zdrojom vlnového správania kvantových stavov.

Analytické riešenia Schrödingerovej rovnice sú však známe len pre malý počet Hamiltonových operátorov. Najvýznamnejšie kvantovo mechanické systémy s analytickými riešeniami sú pravdepodobne kvantový harmonický oscilátor, potenciálová jama, ión molekuly vodíka a atóm vodíka. Analytické riešenie neexistuje ani pre atóm hélia, ktorý obsahuje len o jeden elektrón viac, než atóm vodíka. Existuje však rad techník na zisťovanie približných riešení. Napríklad, metóda známa ako teória perturbácií používa známe analytické riešenia pre jednoduchšie kvantovo mechanické modely na hľadanie riešení pre komplikovanejšie modely, ktoré sú k danému jednoduchšiemu modelu v istom vzťahu (napr. pridaním slabej potenciálnej energie). Druhou metódou je tzv. poloklasická rovnica pohybu, ktorú možno použiť na systémy, pre ktoré kvantová mechanika spôsobuje len malé odchýlky od klasického správania. Tieto odchýlky môžu byť vypočítané pomocou metód klasickej fyziky. Táto metóda je dôležitá pre kvantovú teóriu chaosu.

Alternatívnou matematickou formuláciou kvantovej mechaniky je Feynmanova formulácia pomocou dráhových integrálov, v ktorej sa o kvantovo mechanickej amplitúde uvažuje ako o sume cez histórie medzi počiatočným a koncovým stavom. Toto je kvantovo mechanická analógia princípu najmenšieho účinku.

Interakcia s ďalšími vedeckými teóriami[upraviť | upraviť zdroj]

Kvantová mechanika bola pôvodne formulovaná tak, aby korešpondovala s určitými modelmi nerelativistickej klasickej mechaniky. Napríklad, model kvantového harmonického oscilátora explicitne používa nerelativistickú formuláciu kinetickej energie a preto možno kvantový harmonický oscilátor považovať za analógiu klasického harmonického oscilátora.

Prvé pokusy spojiť špeciálnu teóriu relativity s kvantovou mechanikou viedli k nahradeniu Schrödingerovej rovnice Kleinovou-Gordonovou rovnicou alebo Diracovou rovnicou. Tieto teórie boli úspešné tým, že vysvetlili veľa experimentálne získaných výsledkov. Mali však určité nedostatky, pretože nezahŕňali popis relativistického vytvorenia častice a jej anihilácie. Úplná relativistická kvantová teória vyžadovala sformulovanie kvantovej teórie poľa. Prvou kvantovou teóriou poľa je kvantová elektrodynamika, ktorá poskytuje úplný kvantový popis elektromagnetickej interakcie.

K ďalšej kvantovej teórii poľa patrí kvantová chromodynamika. Popisuje interakcie medzi kvarkami a gluónmi, teda silnú jadrovú interakciuu.

Elektroslabá a elektromagnetická interakcia boli zjednotené do jednotnej kvantovej teórie poľa Abdusom Salamom, Sheldonom Glashowom a Stevenom Weinbergom. Za túto prácu dostali v roku 1979 Nobelovu cenu za fyziku.[21]

Ukázalo sa byť náročné sformulovať kvantové modely gravitácie. Poloklasické aproximácie sú úspešné a viedli k takým predpovediam ako je Hawkingovo žiarenie. Kompletná kvantová teória gravitácie je však zatiaľ brzdená nekompatibilitou všeobecnej teórie relativity s niektorými fundamentálnymi predpokladmi kvantovej teórie. Vyriešenie tohoto problému je predmetom aktívneho výskumu. Teória strún je jedným z kandidátov na teóriu kvantovej gravitácie.

Príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Jednorozmerná nekonečne hlboká potenciálová jama

Na tomto mieste ukážeme ako kvantová mechanika rieši jednoduchý prípad častice uviaznutej v jednorozmernej nekonečne hlbokej potenciálovej jame.

Jamu definujeme tak, že potenciálna energia je nulová v intervale 0 až L a mimo tohoto intervalu je potenciálna energia nekonečne veľká. Uvažujúc os x, časovo nezávislá Schrödingerova rovnica vo vnútri potenciálovej jamy má tvar:[22]

 - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2 \psi}{dx^2} = E \psi

Tejto rovnici vyhovuje rovnica

 \psi(x) = A \sin kx + B \cos kx,\!

kde A, B sú ľubovoľné konštanty a k je konštanta, ktorá závisí od vlastností systému.

Z hraničných podmienok vyplýva, že vlnová funkcia ψ je rovná nule v miestach 0 a L. Zoberúc do úvahy tento fakt, z predchádzajúcej rovnice dostávame:

\psi(0) = 0 = A\sin 0 + B\cos 0 = B\!

Keďže B je rovné nule, z toho vyplýva:

 \psi(L) = 0 = A\sin kL.\!

Výsledok, v ktorom zoberieme A rovné nule, nás nezaujíma, pretože neposkytuje žiadúce informácie o systéme. To ale znamená, že sin kL = 0. Tomuto výsledku vyhovuje akékoľvek kL, ktoré je celočíselným násobkom π.

k = \frac{n\pi}{L}\qquad\qquad n=1,2,3,\ldots.

Kvantovanie energie teda vyplýva z hraničných podmienok, ktoré sme na systém aplikovali:

E = \frac{\hbar^2k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}.

Aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]

Správanie sa subatomárnych častíc (elektrónov, protónov, neutrónov, fotónov a ďalších), z ktorých pozostáva hmota, uspokojivo popisuje len kvantová mechanika. Kvantová mechanika značne ovplyvnila teóriu strún, ktorá je kandidátom na teóriu všetkého.

Kvantová mechanika je dôležitá pre pochopenie toho, ako sa jednotlivé atómy viažu do molekúl. Jej aplikácia v chémii dala vznik kvantovej chémii. Poskytuje kvantitatívne predpovede procesov týkajúcich sa vzniku iónovej a kovalentnej väzby.[23]

Moderná technológia často pracuje na úrovni, kde kvantové deje majú nezanedbateľný vplyv. Príkladom je laser, tranzistor (a tým pádom mikročip), elektrónový mikroskop a zobrazovanie magnetickou rezonanciou. Štúdium polovodičov viedlo k vynájdeniu diódy a tranzistora, ktoré sú podstatnou súčasťou modernej elektroniky.

Vedci v súčasnosti hľadajú metódy priamej manipulácie kvantových stavov. Rozvíja sa kvantová kryptografia, ktorá má zabezpečiť bezpečný prenos informácií. Vzdialenejším cieľom sú kvantové počítače, ktoré majú pracovať niekoľkokrát rýchlejšie ako súčasné počítače. Témou výskumu je tiež kvantová teleportácia, ktorou sa má dochádzať k prenosu kvantových stavov cez ľubovoľné vzdialenosti.

Kvantové tunelovanie je jav, bez ktorého by nefungovali niektoré prístroje. Napríklad flash memory čipy používané v USB kľúčoch používajú kvantové tunelovanie k mazaniu svojej pamäte.

Kvantová mechanika sa používa hlavne k opisu správania sa častíc v mikrosvete. Svoju aplikovateľnosť však má aj vo väčších rozmeroch: supravodivosť je jedným známym príkladom. Kvantové javy pravdepodobne majú svoju úlohu aj pri funkcii čuchu.[24]

Filozofické dôsledky[upraviť | upraviť zdroj]

Kvantová mechanika a veľa jej neintuitívnych predpovedí už od svojho vzniku vyprovokovala veľa diskusií a rôznych interpretácií.

Kodaňská interpretácia je medzi fyzikmi široko akceptovaná. Probabilistická povaha kvantovej mechaniky podľa tejto interpretácie nie je len dočasná vlastnosť, ktorú by neskôr nahradila deterministická teória. Skôr ju treba chápať ako odmietnutie klasickej predstavy kauzality.

Albert Einstein, ktorý patrí k zakladateľom kvantovej teórie, odmietal takúto stratu determinizmu. Predpokladal, že musia existovať skryté premenné, ktoré sme ešte neobjavili a preto je kvantová mechanika je nekompletná. Vyslovil niekoľko námietok voči takejto interpretácii, z ktorých najznámejšou je pravdepodobne Einsteinov-Podolského-Rosenov paradox (EPR paradox). John Bell ukázal, že EPR paradox vedie ku experimentálne overiteľným rozdielom medzi kvantovou mechanikou a lokálnymi realistickými teóriami. Experimenty, ktoré boli uskutočnené, potvrdili presnosť kvantovej mechaniky, čím dokázali, že fyzikálny svet nemôže byť popísaný lokálnymi realistickými teóriami.[25] Bohrove-Einsteinove debaty predstavujú kritiku Kodaňskej interpretácie z epistemologického hľadiska.

Everettova interpretácia mnohých svetov formulovaná v roku 1956 tvrdí, že všetky možné stavy popísané kvantovou teóriou sa súčasne uskutočňujú v multivesmíre, ktorý pozostáva hlavne z nezávislých paralelných vesmírov.[26] Toto tvrdenie sa nezakladá na postulácii nového axiómu v rámci kvantovej mechaniky, ale na odstránení axiómu tzv. kolapsu vlnového balíčka.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Encyklopédia Britannica
  2. A concise dictionary of Physics, Oxford University press, New York, ISBN 0-19-286111-5, 1990
  3. Merriam-Webster.com
  4. KÁBRT, Ján, et al. Latinsko-český slovník. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1991. ISBN 80-04-26000-4. S. 484. (čeština)
  5. FCCJ.org
  6. Oocities.com
  7. GREINER, Walter. Quantum Mechanics Symmetries, Second edition. [s.l.] : Springer-Verlag, 1994. Kapitola 1, s. 52 Dostupné online. ISBN 3-540-58080-8. S. 52. (angličtina)
  8. AIP.org
  9. J. Mehra and H. Rechenberg, The historical development of quantum theory, Springer-Verlag, 1982.
  10. T.S. Kuhn, Black-body theory and the quantum discontinuity 1894-1912, Clarendon Press, Oxford, 1978.
  11. A. Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (On a heuristic point of view concerning the production and transformation of light), Annalen der Physik 17 (1905) 132-148, dostupné online
  12. Scribd.com
  13. Academic.brooklyn.cuny.edu
  14. Cambridge.org
  15. Spaceandmotion.com
  16. IF.uj.edu.pl
  17. OCW.ssu.edu
  18. Reddit.com
  19. P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Clarendon Press, Oxford, 1930
  20. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin, 1932 (English translation: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955)
  21. The Nobel Prize in Physics 1979. Nobel Foundation. prístup: 2010-02-16.
  22. Derivation of particle in a box, chemistry.tidalswan.com
  23. Books.google.com
  24. Discovermagazine.com
  25. Plato.stanford.edu
  26. Plato.stanford.edu

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

Všeobecné
Online kurzy
FAQ
Médiá
Filozofia

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Quantum mechanics na anglickej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).