Pole (algebra)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V abstraktnej algebre označuje pole algebrickú štruktúru zloženú z množiny a na nej definovaných dvoch operácií, ktoré sa správajú podobne ako sčítanie a násobenie na racionálnych či reálnych číslach. Tento stupeň abstrakcie nám umožňuje študovať všetky podobné štruktúry naraz. Pole je teleso, v ktorom je multiplikatívna operácia komutatívna.

Úvod[upraviť | upraviť zdroj]

Polia sú veľmi dôležité objekty, pretože poskytujú užitočné zovšeobecnenie veľa rôznych systémov, vrátane číselných, ako sú racionálne, reálne a komplexné čísla. Platia v nich klasické pravidlá asociativity, komutativity a distributivity. Polia sa vyskytujú v rozmanitých oblastiach matematiky (pozri aj príklady nižšie).

V časoch, keď sa abstraktná algebra ešte vyvíjala, zvyčajne definície polí neobsahovali požiadavku komutativity multiplikatívnej operácie a to, čo dnes nazývame poľom, by sme vtedy nazývali komutatívnym poľom alebo racionálnou doménou. Všetky bežne zaužívané definície v súčasnosti majú komutatívnu multiplikatívnu operáciu. Štruktúry podobné poliam, v ktorých ale multiplikatívna operácia nie je komutatívna, dnes nazývame telesá. Niektoré kultúry a jazyky nemajú ani samostatné slovo označujúce pole, napr. vo francúzštine sa nazývajú corps commutatif (komutatívne teleso).

Koncept poľa sa používa napr. aj vo vektorových priestoroch a maticiach, dvoch štruktúrach z lineárnej algebry obsahujúcich prvky daných polí. Galoisova teória študuje symetrie rovníc skúmaním spôsobov, akými polia môžu byť obsiahnuté v iných poliach. (Pozri aj teória polí (algebra)).

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Pole je usporiadaná trojica (F, +, *), kde

  • F je ľubovoľná množina,
  • + je ľubovoľná binárna operácia na množine F, ktorú nazývame aditívna operácia poľa,
  • * je ľubovoľná binárna operácia na množine F, ktorú nazývame multiplikatívna operácia poľa,
  • (F, +) je abelovská grupa, ktorej neutrálny prvok nazývame nulou poľa a symbolicky zapisujeme 0,
  • (F\setminus \{0\}, *) je abelovská grupa a jej neutrálny prvok nazývame jednotkou poľa (symbolicky 1),
  • multiplikatívna operácia * je distributívna vzhľadom na aditívnu operáciu +, teda platí \forall a,b,c:\ a*(b+c)=a*b+a*c (keďže * je komutatívna operácia, * je distributívne z oboch strán vzhľadom na +).

Inak povedané, pole je teleso s komutatívnou multiplikatívnou operáciou.

Keďže každé pole je teleso, obor integrity a okruh, platia všetky vety dokázané s týmito štruktúrami.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]


     +  0  1        *  0  1
     0  0  1        0  0  0
     1  1  0        1  0  1
Toto pole je veľmi dôležité v informatike, zvlášť v šifrovaní a teórii kódovania.
  • Racionálne čísla sa dajú rozšíriť na pole p-adických čísel pre každé prvočíslo p. Tieto polia sú veľmi dôležité v teórii čísel a matematickej analýze.
  • Nech E a F sú dve polia, pričom E je podpole poľa F. Nech x je prvok poľa F nepatriaci poľu E. Potom zápisom E(x) označuje najmenšie podpole poľa F, ktoré obsahuje E a x. Toto podpole nazývame aj jednoduché rozšírenie poľa E. Napríklad, Q(i) je pole, ktoré pozostáva z komplexných čísel majúcich tak reálnu, ako aj imaginárnu zložku racionálne. Dokonca sa dá ukázať, že všetky nekonečné číselné polia sú jednoduché rozšírenie poľa Q.
  • Pre každé pole F je množina F(X) racionálnych funkcií s premennou X s koeficientami z F poľom. Toto pole sa definuje ako množina všetkých podielov polynómov s koeficientami z poľa F. Je to najjednoduchší príklad transcendentálneho rozšírenia.
  • Keď F je pole a p(x) je ireducibilný polynóm z okruhu polynómov F[x], potom faktorový okruh F(x)/(p(x)) (faktorový okruh poľa F podľa ideálu generovaného polynómom p(x)) je pole, ktoré má podpole izomorfné s F. Dá sa dokázať, že každé jednoduché algebrické rozšírenie F je izomorfné s nejakým poľom takéhoto typu.
  • Ak F je pole, potom množina F((X)) formálnych Laurentovych radov nad F je poľom.
  • Keď V je algebrická varieta nad poľom F, potom racionálne funkcie VF tvoria pole (funkčné pole nad V).
  • Keď S je Riemannov povrch, potom meromorfické funkcie SC tvoria pole.
  • Ak I je indexová množina, U je ultrafilter na I a Fi je pole pre každé i z I, potom ultrasúčin Fi (vzhľadom na U) je pole.
  • Hyperreálne a superreálne čísla rozširujú pole reálnych čísel o infinitezimálne a nekonečné čísla.

Jednoduché vety[upraviť | upraviť zdroj]

  • Množina nenulových prvkov poľa F (zvyčajne ju označujeme ako F×) tvorí vzhľadom na multiplikatívnu operáciu abelovskú grupu, ktorej každá konečná podgrupa je cyklická.
  • Charakteristika každého poľa je buď nulová alebo prvočíselná. (Charakteristika poľa je najmenšie kladné číslo n také, že n\times 1 = 0 (\times je aditívna číselná mocnina) alebo 0, ak také číslo neexistuje. Ekvivalentná definícia hovorí, že charakteristika poľa F je jedinečný nezáporný generátor jadra jedinečného okruhového homomorfizmu ZF, ktoré posiela 1 |→ 1.)
  • Rád konečného poľa (počet prvkov) je mocnina prvočísla.
  • Podobne ako teleso, pole má len triviálne ideály ({0} a samého seba).
  • Ku každému poľu F existuje jedinečné pole G (až na izomorfizmus), ktoré obsahuje F, je algebrické na F a je algebricky uzavreté. Takéto pole G sa nazýva algebrický uzáver poľa F.
  • Algebraický uzáver poľa reálnych čísel je pole komplexných čísel.