Asociatívnosť

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
(Presmerované z Asociatívna operácia)
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Asociatívnosť je v algebre vlastnosť binárnej operácie, spočívajúca v tom, že nezáleží, ako použijeme zátvorky pri výraze, kde je viac operandov, alebo v akom poradí budeme výraz počítať.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Binárna operácia * je na množine S ​​ asociatívna, ak platí:

\forall x,y,z\in S \qquad (x * y) * z=x * (y * z).

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Najznámejšie príklady asociatívnych binárnych operácií sú sčítanie (a+b) a násobenie (a.b) reálnych čísel.

(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)
(7\cdot3) \cdot 2 = 21\cdot2 = 42 = 7\cdot6 = 7\cdot(3\cdot2)

Ďalšie ukážky asociatívnych binárnych operácií sú napríklad: sčítanie a násobenie komplexných čísel, sčítanie vektorov, prienik a zjednotenie množín.

Medzi binárne operácie, ktoré nie sú asociatívne, patrí napríklad odčítanie (a-b), delenie (a:b) a umocňovanie (ab) čísel alebo vektorové násobenie vektorov.

 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 .
2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3

U neasociatívnych operáciách je potrebné buď dôsledne používať zátvorky, alebo sa dohodnúť na implicitnom poradí vykonávaných operácií - potom sa niekedy hovorí o operáciách asociatívnych zľava alebo asociatívnych sprava. Z uvedených príkladov je odčítanie ľavo asociatívne, výraz 10-5-3 sa chápe ako (10-5)-3, naopak umocňovanie je asociatívne sprava, 2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)} (pretože ľavá asociativita by nebola pri umocňovaní bola užitočná - rovnaký výsledok sa dá vďaka pravidlám pre mocniny zapísať pomocou súčinu exponentov: (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}).

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Asociativita na českej Wikipédii.