Umocňovanie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Umocňovanie je matematická funkcia, ktorá vyjadruje opakované násobenie. Umocňovanie je s násobením v podobnom vzťahu, v akom je samo násobenie ku sčítaniu. Výsledok umocňovania sa nazýva mocnina.

Umocňovanie slúži na skrátenie zápisu viacnásobného násobenia:


 \begin{matrix}
 \underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }&=a^b\\{b}
 \end{matrix}

V tomto vzorci sa a označuje ako základ mocniny (mocnenec) a b sa nazýva exponent (mocniteľ). Výsledok je b-tá mocnina čísla a, a na b-tu. Špeciálnym prípadom prázdného súčinu je a0 = 1 (pre a ≠ 0, pozri nižšie).

Keď sa nedá písať exponent na hornú pozíciu, používa sa často zápis v tvare a^b, niekedy tiež aj a**b.

Zovšeobecnenie definície[upraviť | upraviť zdroj]

Vyššie uvedená definícia umocňovania ako opakovaného násobenia je použiteľná iba pre prirodzené exponenty. Záporné exponenty označujú mocninu prevráteného čísla:

a^{-n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n = \frac{1}{a^n}

Zovšeobecnenie pre racionálny exponent poskytuje definícia:

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.

Zovšeobecnenie na celý obor reálnych čísel (tj. rozšírenie definície o mocniny s iracionálnymi exponentami) sa potom dosahuje dodefinovaním pomocou limity.

Mocniny s komplexným základom sú definované nasledujúcim spôsobom: Ak je a + b i = r \cdot e^{i\varphi} s reálnymi číslami a, b, n, r > 0 a φ, potom platí


 z^n\equiv (a+b\;i)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))

Ak je navyše exponent a číslo všeobecne komplexné, potom je mocnina daná ako

z^a=e^{a \operatorname{Ln\ }z}=e^{a\left(\operatorname{ln}|z|+i\varphi\right)},

kde argument φ má nutne skok, ktorého polohu však možno zvoliť. Volí sa spravidla φ z intervalu <0;2π) alebo (-π;π>. Teda mocnina je všeobecne viacznačná funkcia a pokiaľ nie je a celé číslo, mocnina nie je na celej komplexnej rovine holomorfná.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Umocňovanie nie je všeobecne komutatívne (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

Nula na nultú[upraviť | upraviť zdroj]

Výraz 00 nie je celkom všeobecne definovaný. Napríklad limita v tomto tvare je tzv. neurčitý výraz a pre jej vyčíslenie je potrebné použiť inú techniku (napr. L’Hospitalovo pravidlo). Dôvodom pre túto nedefinovanosť je dvojitý pohľad na tento výraz: Prvý pohľad na výraz hľadí ako na funkciu x0, ktorá je všade (okrem nuly) rovná jednej, takže je možno ju v nule dodefinovať rovnako a kladie sa 00 = 1. Naopak druhý pohľad vychádza z funkcie 0x, ktorá je všade (okrem nuly) nulová, takže sa v nule dodefinuje 00 = 0.

V bežných situáciach sa používa hlavne prvá definícia, podľa ktorej je

00 = 1,

inokedy je 00 ponechané nedefinované, v niektorých kontextoch je možné sa stretnúť i s použitím druhej definície.

Pre použitie prvej definície existuje niekoľko závažných dôvodov, medzi najdôležitejšie patrí binomická veta, pre ktorej všeobecnú platnosť je táto definícia vyžadovaná.

Mocniny nuly[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je mocniteľ kladný, tak je mocnina nuly nula. 0x = 0, kde x > 0.

Pokiaľ je mocniteľ záporný, potom je mocnina nuly (0x, kde x > 0) nedefinovaná, pretože delenie nulou nie je na množine reálnych čísel definované.

Zvláštne mocniny[upraviť | upraviť zdroj]

V každodennom živote často používame mocniny so základom desať (to sú 1, 10, 100, 1000, …). Tieto mocniny tvoria základ našej desiatkovej číselnej sústavy, ako i v sústave SIpredpony násobkov jednotiek označením mocnín desiatich – 1 kg = 10³ g apod.

Počítače pri spracovaní dát používajú dvojkovú sústavu, založenú na mocninách čísla 2. Z toho dôvodu sa niekedy v informatike používajú násobky jednotiek ako mocniny so základom 2 – 1 KiB = 210 B = 1024 B. (pozri tiež binárny prefix.)

V matematike sú zvlášť dôležité mocniny so základom e ≅ 2,71828, takzvaného Eulerovho čísla.

Rýchlosť rastu[upraviť | upraviť zdroj]

Mocnina je veľmi rýchlo rastúca funkcia, jedna z najrýchlejšie rastúcich bežne používaných funkcií. Príkladom rýchlosti rastu je nasledujúce pozorovanie:

Príklad 1

List papiera sa dá obvykle preložiť (na polovicu) iba asi sedemkrát. Výsledkom je 128 (27) vrstiev papiera. Ak by (teoreticky) takýto papier bol preložený 42-krát, vrstva papiera by mala hrúbku rovnajúcu sa vzdialenosti zo Zeme na Mesiac.

Príklad 2

Každý človek má dvoch biologických rodičov, štyroch prarodičov, osem praprarodičov atď. Ak sledujeme tento rodokmeň ďalej, dajme tomu 70 generácií, dostaneme sa až do doby narodenia Ježiša Krista. V tomto prípade počet predkov každého človeka predstavuje 270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 ľudí. To výrazne presahuje počet všetkých doposiaľ žijúcich ľudí.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]