Binomická veta

Binomická veta je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov.
Veta vychádza z kombinatoriky.

Znenie vety

Ak je dané ľubovolné, kladné, prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovolné reálne a komplexné čísla x a y platí:
${(x + y)}^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} x^{n - k} y^k$
kde $\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}$ je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom: ${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.

Iný zápis vyzerá takto:

$(x+y)^n = {n\choose 0}x^n + {n\choose 1}x^{n-1}y + \dots + {n\choose k}x^{n-k}y^k + \dots + {n\choose n}y^n,$

pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:

$A_{k} = \begin{pmatrix} n\\{k - 1} \end{pmatrix} a^{n - k + 1} b^{k - 1}$

Dôkaz

Použijeme matematickú indukciu.

• Keď n = 0, rovnosť platí:

$(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.$

• Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre $n=m+1$:

$(a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,$

z indukčného predpokladu:

$= a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j$

násobené číslami $a$ a $b$:

$= \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$

vyjmutie $k=0$ zo sumy:

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$

substitúciou $j = k-1$:

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}$

vyjmutie $k=m+1$ zo sumy:

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}$

zloženie dvoch súm:

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k$

z Pascalovho pravidla:

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$

pridaním $m+1$ mocniny do výrazu:

$= \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$ .

Q.E.D.

Príklady

Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,$

Newtonova binomická veta

Binomickú vetu môžno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo.
Nech je teda a reálne číslo. Potom pre ľubovolné reálne a komplexné čísla x a y také, že $|\frac{x}{y}| < 1$ platí:
${(x + y)}^a = \sum_{k=0}^{\infty} \begin{pmatrix} a\\k \end{pmatrix} x^{k} y^{a - k}$
kde:

$\begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix} = 1$

$\begin{pmatrix} a\\k \end{pmatrix} = \frac{a(a-1)(a - 2) ... (a - k + 1)}{k!}$, kde k > 0

Pozri aj

• Binomické rozdelenie
• Pascalov trojuholník
• Kombinatorika
• Multinomická veta