Binomické rozdelenie

Binomické rozdelenie (iné názvy: binomické pravdepodobnostné rozdelenie, binomické rozdelenie pravdepodobnosti, Bernoulliho rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Opisuje počet výskytu určitej náhodnej udalosti v $n$ nezávislých pokusoch, pričom daný jav má stále rovnakú pravdepodobnosť $p$ (vyskytuje sa stále s rovnakou pravdepodobnosťou). V špeciálnom prípade, ak položíme $n = 1$, tak dostaneme alternatívne rozdelenie.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná $X$ má binomické rozdelenie s parametrami $n$ a $p$, pričom $n \in \mathbb{N}$ a $p \in (0, 1)$, ak nadobúda hodnoty $k = 0, 1, 2, ..., n$ s pravdepodobnosťami $p_{0}$, $p_{1}$, $p_{2}$, ..., $p_{n}$, pričom platí nasledovný vzťah:
$p_{k}=P(X=k)=\displaystyle {n \choose k }p^{k}(1-p)^{n-k}$

Označujeme:

• $\operatorname{X} \sim Bin(n, p)$
• $\operatorname{X} \sim Bi(n, p)$

Základné charakteristiky rozdelenia

• Stredná hodnota:

$\operatorname{E}(X)= np$

• Rozptyl:

$\operatorname{D}(X) = np(1-p)$

• Koeficient šikmosti:

$\gamma_{1} = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p) }}$

• Koeficient špicatosti:

$\gamma_{2} = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$

• Momentová vytvárajúca funkcia:

$m(t) = {\left [p \mathrm{e}^{t} + (1-p) \right] }^{n}$

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Binomické rozdelenie

Zdroj

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika – Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory, s. 344. (slovenčina)
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. (Ekonómia.) ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenie v poisťovníctve, s. 261. (slovenčina)