Koeficient špicatosti

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Koeficient špicatosti[1] (iné názvy: koeficient strmosti, exces, exces rozdelenia (náhodnej premennej), koeficient excesu, zahrotenosť, zvyšok) je charakteristika rozdelenia náhodnej veličiny. Porovnáva dané rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny s normálnym rozdelením. Zvykne sa označovať \gamma_2.[2]

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech X je ľubovoľná náhodná premenná a nech jej stredná hodnota je E(X) = \mu a disperzia je D(X) = \sigma^2. Potom koeficient špicatosti je definovaný nasledovným podielom:[3]

\gamma_2 = \frac{\mu_4(X)}{\left[D(X)\right]^2} - 3

Pričom \mu_4 označuje štvrtý centrálny moment náhodnej premennej X.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Je zrejmé, že môžu nastať tri prípady, a to:

  • \gamma_2 > 0; kladný koeficient špicatosti hovorí, že dané rozdelenie pravdepodobnosti je špicatejšie ako normálne rozdelenie.
  • \gamma_2 < 0; v tomto prípade nastáva opačný prípad ako pri kladnej hodnote koeficientu špicatosti, teda dané rozdelenie pravdepodobnosti je plochšie ako normálne rozdelenie.

Výberový koeficient špicatosti[upraviť | upraviť zdroj]

Výberový koeficient špicatosti je definovaný nasledovným vzťahom:

g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right)^2},

kde \overline{X} je výberový premier, m_2 je výberový rozptyl a m_4 je štvrtý výberový centrálny moment náhodnej premennej.

Poznámky[upraviť | upraviť zdroj]

  • ^ Toto je klasický názov pre túto charakteristiku rozdelenia, no v poslednom čase ho niektorí odborníci označujú ako nie úplne vhodný či výstižný.[1]
  • ^ V niektorej literatúre sa zvykne používať aj označenie \varepsilon alebo \varepsilon_x.
  • ^ Namiesto takto definovanej charakteristiky sa v niektorých prípadoch definuje táto charakteristika nasledovne:[2]:

\gamma_2\prime = \frac{\mu_4(X)}{\left[D(X)\right]^2}

Teda:

\gamma_2\prime = \gamma_2 + 3

Zdroj a referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  • POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.
  • PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Základné pojmy teórie pravdepodobnosti, s. 261.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Koeficient špičatosti na českej Wikipédii.
  1. ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA, vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. Kapitola Další charakteristiky, s. 230. (čeština)
  2. LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory; Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.