Koeficient špicatosti

Koeficient špicatosti (iné názvy: koeficient strmosti, exces, exces rozdelenia (náhodnej premennej), koeficient excesu, zahrotenosť, zvyšok) je charakteristika rozdelenia náhodnej veličiny. Porovnáva dané rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny s normálnym rozdelením. Zvykne sa označovať $\gamma_2$.

Definícia

Nech $X$ je ľubovoľná náhodná premenná a nech jej stredná hodnota je $E(X) = \mu$ a disperzia je $D(X) = \sigma^2$. Potom koeficient špicatosti je definovaný nasledovným podielom:

$\gamma_2 = \frac{\mu_4(X)}{\left[D(X)\right]^2} - 3$

Pričom $\mu_4$ označuje štvrtý centrálny moment náhodnej premennej $X$.

Vlastnosti

Je zrejmé, že môžu nastať tri prípady, a to:

• $\gamma_2 = 0$; v tomto prípade ide o normované normálne rozdelenie.

• $\gamma_2 > 0$; kladný koeficient špicatosti hovorí, že dané rozdelenie pravdepodobnosti je špicatejšie ako normálne rozdelenie.

• $\gamma_2 < 0$; v tomto prípade nastáva opačný prípad ako pri kladnej hodnote koeficientu špicatosti, teda dané rozdelenie pravdepodobnosti je plochšie ako normálne rozdelenie.

Výberový koeficient špicatosti

Výberový koeficient špicatosti je definovaný nasledovným vzťahom:

$g_2 = \frac{m_4}{m_2^2} = n\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^4}{\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right)^2}$,

kde $\overline{X}$ je výberový premier, $m_2$ je výberový rozptyl a $m_4$ je štvrtý výberový centrálny moment náhodnej premennej.

Poznámky

• ^ Toto je klasický názov pre túto charakteristiku rozdelenia, no v poslednom čase ho niektorí odborníci označujú ako nie úplne vhodný či výstižný.
• ^ V niektorej literatúre sa zvykne používať aj označenie $\varepsilon$ alebo $\varepsilon_x$.
• ^ Namiesto takto definovanej charakteristiky sa v niektorých prípadoch definuje táto charakteristika nasledovne::

$\gamma_2\prime = \frac{\mu_4(X)}{\left[D(X)\right]^2}$

Teda:

$\gamma_2\prime = \gamma_2 + 3$

Zdroj a referencie

• POTOCKÝ, Rastislav, kolektívZbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388. (slovenčina)
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Základné pojmy teórie pravdepodobnosti, s. 261. (slovenčina)
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Koeficient špičatosti na českej Wikipédii.