Normálne rozdelenie

Normálne rozdelenie alebo Gaussovo rozdelenie alebo normálne rozdelenie pravdepodobnosti či Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti je jedno z najdôležitejších rozdelení pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny.

Týmto rozdelením pravdepodobnosti sa síce neriadi veľké množstvo veličín, ale jeho význam spočíva v tom, že za určitých podmienok dobre aproximuje rad iných pravdepodobnostných rozdelení (spojitých aj diskrétnych).

V súvislosti s normálnym rozdelením sa často spomínajú náhodné chyby, napr. chyby merania, spôsobené veľkým počtom neznámych a vzájomne nezávislých príčin. Preto sa normálne rozdelenie označuje aj ako zákon chýb. Podľa tohoto zákona sa riadi aj rozdelenie niektorých fyzikálnych a technických veličín.

Rozdelenie pravdepodobnosti

Hustota normálneho rozdelenia pravdepodobnosti

Normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami $\mu$ a $\sigma^2$, pre $-\infty<\mu<\infty$ a $\sigma^2>0$, je pre $-\infty<x<\infty$ definované hustotou pravdepodobnosti v tvare

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}}$.

Normálne rozdelenie sa väčšinou značí $\operatorname{N}(\mu,\sigma^2)$. Rozdelenie $\operatorname{N}(0,1)$ býva označované ako normované (alebo štandardizované) normálne rozdelenie. Normované normálne rozdelenie má teda hustotu pravdepodobnosti

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

Charakteristiky rozdelenia

Stredná hodnota normálneho rozdelenia je

$\operatorname{E}(X) = \mu$

Normálne rozdelenie má rozptyl

$\sigma^2(X) = \sigma^2$

Pre medián dostaneme

$x_{0,5} = \mu$

Koeficienty šikmosti a špicatosti normálneho rozdelenia sú:

$\gamma_1=0$

$\gamma_2=1$

Momentovou vytvárajúcou funkciou normálneho rozdelenia možno zapísať v tvare

$m(z) = \mathrm{e}^{z\mu + \frac{z^2 \sigma^2}{2}}$

Pre prirodzené čísla $k$ možno momenty pisať ako

$\mu_{2k-1}=0$

$\mu_{2k} = \frac{(2k)!}{k!2^k} \sigma^{2k}$

Distribučná funkcia

Distribučná funkcia normálneho rozdelenia je

$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(t-\mu)}^2}{2\sigma^2}} \;\mathrm{d}t$

Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nemožno vyjádriť elementárnymi funkciami.

Viacrozmerné rozdelenie

Keď máme $s$-rozmerný náhodný vektor $X$, ktorého združená hustota pravdepodobnosti má tvar

$f(x_1,x_2,...,x_s) = \frac{1}{\sqrt{{(2\pi)}^s {\left|\mathbf{C}\right|}}} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}{\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}^T \mathbf{C}^{-1} {\left(\mathbf{x}-\mathbf{\mu}\right)}}$

pre $-\infty<x_i<\infty$, $i=1,2,...,s$, kde $\mathbf{C}$ je symetrická, pozitivne definitná matica a $\mathbf{x} = {(x_1,x_2,...,x_s)}^T$ a $\mathbf{\mu} = {(\mu_1,\mu_2,...,\mu_s)}^T$ sú stĺpcové vektory. V takom prípadě hovoríme o $s$-rozmernom normálnom rozdelení, ktoré predstavuje zovšeobecnenie normálneho rozdelenia pre viacrozmernú náhodnú veličinu.

Charakteristiky viacrozmerného rozdelenia

Momentovú vytvárajúcu funkciu možno vyjadriť ako

$m(z_1,z_2,...,z_s) = \mathrm{e}^{\left(\mathbf{z}^T\mathbf{\mu}+ \frac{\mathbf{z}^T \mathbf{C}\mathbf{z}}{2}\right)}$

Z predchádzajúceho vzťahu možno odvodiť, že $\mathbf{\mu}$ predstavuje vektor stredných hodnôt a $\mathbf{C}$ kovariančnú maticu.

Marginálne rozdelenie

Marginálnym rozdelením veličiny $X_i$ je jednorozmerné normálne rozdelenie $\operatorname{N}(\mu_i,\sigma_i^2)$, marginálnym rozdelením veličín $X_i, X_j$ pre $i\neq j$ je dvojrozmerné normálne rozdelenie, atď.

Pozri aj

• Rozdelenie pravdepodobnosti

Zdroje

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Normální rozdělení na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).