Kvadratická forma

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Kvadratická forma nad poľom reálnych čísel je v matematike ľubovoľný výraz tvaru

\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j,

kde a_{ij} \in \mathbb{R} sú reálne koeficienty a x_1 \ldots x_n sú premenné, pre ktoré platí komutatívny zákon x_i x_j = x_j x_i. Podobne možno definovať kvadratickú formu nad ľubovoľným poľom, vo fyzike sú obzvlášť dôležité kvadratické formy s komplexnými koeficientami a_{ij}.

Kvadratické formy majú širokú škálu aplikácií. Využívajú sa napríklad v teórii čísel, riemannovskej geometrii, matematickej analýze, algebraickej topológii, Lieovej teórii, ale aj vo fyzike, či chémii, kde zvyknú opisovať energiu systému.

História[upraviť | upraviť zdroj]

V histórii sa pravdepodobne najviac skúmali kvadratické formy s celočíselnými koeficientami. Za matematické výsledky využívajúce kvadratické formy možno z dnešného pohľadu považovať napr. aj problém hľadania pytagorejských trojíc, či Fermatovu vetu o súčte dvoch štvorcov.

Ako počiatok moderného výskumu kvadratických foriem možno považovať rok 1801, keď nemecký matematik Carl Friedrich Gauss publikoval knihu o teórii čísel, Disquisitiones Arithmeticae, veľká časť ktorej sa zaoberala binárnymi kvadratickými formami s celočíselnými koeficientami. Odvtedy bol pojem viac krát zovšeobecnený a boli objavené súvislosti napr. s kvadratickými poľami, či modulárnymi grupami.

Rozdelenie kvadratických foriem[upraviť | upraviť zdroj]

Asi najdôležitejšie rozdelenie kvadratických foriem je ich rozdelenie podľa poľa, do ktorého patria koeficienty pri jednotlivých jej členoch. Na základe toho rozlišujeme napr.:

Ďalej možno kvadratické formy rozdeliť podľa počtu premenných na:

  • Unárne kvadratické formy s jednou premennou, q(x) = ax^2
  • Binárne kvadratické formy s dvoma premennými, q(x) = ax^2 + bxy + cy^2
  • Ternárne kvadratické formy s troma premennými, q(x) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz
  • n-árne kvadratické formy s n premennými,
q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j.

Maticový zápis[upraviť | upraviť zdroj]

Každú kvadratickú formu

q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j

možno zapísať v tvare súčinu vektora premenných, nejakej matice A a transponovaného vektora premenných, teda

(x_1, x_2, \ldots, x_n) \cdot \left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \cdot (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T .

Tvrdenie možno overiť priamo, vynásobením týchto matíc. Teda, napríklad kvadratickú formu

q(x) = x_1^2 + 4 x_1 x_2 + 2 x_2^2

možno písať v tvare

q(x) = (x_1, x_2) \cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \cdot (x_1, x_2)^T .

Ak však prepíšeme tú istú kvadratickú formu ako napr.

q(x) = x_1^2 + 3 x_1 x_2 + x_2 x_1 + 2 x_2^2,

dostávame maticové vyjadrenie

q(x) = (x_1, x_2) \cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \cdot (x_1, x_2)^T .

To znamená, že maticový tvar kvadratickej formy nie je jednoznačný. Ale naopak, matica kvadratickej formy určuje danú kvadratickú formu jednoznačne.

Symetrické kvadratické formy[upraviť | upraviť zdroj]

Maticový tvar kvadratickej formy síce nie je jednoznačný, ale vyjadrenie kvadratickej formy pomocou symetrickej matice už jednoznačné je. Navyše, v ľubovoľnom poli s charakteristikou rôznou od 2 (a práve toto je prípad najčastejšie používaných polí, ako napr. reálne čísla alebo komplexné čísla), existuje pre kvadratickú formu vyjadrenie pomocou symetrickej matice.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]