Kvadratická forma

Kvadratická forma nad poľom reálnych čísel je v matematike ľubovoľný výraz tvaru

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j,$

kde $a_{ij} \in \mathbb{R}$ sú reálne koeficienty a $x_1 \ldots x_n$ sú premenné, pre ktoré platí komutatívny zákon $x_i x_j = x_j x_i$. Podobne možno definovať kvadratickú formu nad ľubovoľným poľom, vo fyzike sú obzvlášť dôležité kvadratické formy s komplexnými koeficientami $a_{ij}$.

Kvadratické formy majú širokú škálu aplikácií. Využívajú sa napríklad v teórii čísel, riemannovskej geometrii, matematickej analýze, algebraickej topológii, Lieovej teórii, ale aj vo fyzike, či chémii, kde zvyknú opisovať energiu systému.

História

V histórii sa pravdepodobne najviac skúmali kvadratické formy s celočíselnými koeficientami. Za matematické výsledky využívajúce kvadratické formy možno z dnešného pohľadu považovať napr. aj problém hľadania pytagorejských trojíc, či Fermatovu vetu o súčte dvoch štvorcov.

Ako počiatok moderného výskumu kvadratických foriem možno považovať rok 1801, keď nemecký matematik Carl Friedrich Gauss publikoval knihu o teórii čísel, Disquisitiones Arithmeticae, veľká časť ktorej sa zaoberala binárnymi kvadratickými formami s celočíselnými koeficientami. Odvtedy bol pojem viac krát zovšeobecnený a boli objavené súvislosti napr. s kvadratickými poľami, či modulárnymi grupami.

Rozdelenie kvadratických foriem

Asi najdôležitejšie rozdelenie kvadratických foriem je ich rozdelenie podľa poľa, do ktorého patria koeficienty pri jednotlivých jej členoch. Na základe toho rozlišujeme napr.:

• Reálne kvadratické formy
• Komplexné kvadratické formy
• Celočíselné kvadratické formy
• Kvadratické formy nad ľubovoľným poľom $(F,+,\cdot)$.

Ďalej možno kvadratické formy rozdeliť podľa počtu premenných na:

• Unárne kvadratické formy s jednou premennou, $q(x) = ax^2$
• Binárne kvadratické formy s dvoma premennými, $q(x) = ax^2 + bxy + cy^2$
• Ternárne kvadratické formy s troma premennými, $q(x) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz$
• $n$-árne kvadratické formy s $n$ premennými,

$q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$.

Maticový zápis

Každú kvadratickú formu

$q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$

možno zapísať v tvare súčinu vektora premenných, nejakej matice A a transponovaného vektora premenných, teda

$(x_1, x_2, \ldots, x_n) \cdot \left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) \cdot (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$.

Tvrdenie možno overiť priamo, vynásobením týchto matíc. Teda, napríklad kvadratickú formu

$q(x) = x_1^2 + 4 x_1 x_2 + 2 x_2^2$

možno písať v tvare

$q(x) = (x_1, x_2) \cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 0 & 2 \end{array}\right) \cdot (x_1, x_2)^T$.

Ak však prepíšeme tú istú kvadratickú formu ako napr.

$q(x) = x_1^2 + 3 x_1 x_2 + x_2 x_1 + 2 x_2^2$,

dostávame maticové vyjadrenie

$q(x) = (x_1, x_2) \cdot \left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \cdot (x_1, x_2)^T$.

To znamená, že maticový tvar kvadratickej formy nie je jednoznačný. Ale naopak, matica kvadratickej formy určuje danú kvadratickú formu jednoznačne.

Symetrické kvadratické formy

Maticový tvar kvadratickej formy síce nie je jednoznačný, ale vyjadrenie kvadratickej formy pomocou symetrickej matice už jednoznačné je. Navyše, v ľubovoľnom poli s charakteristikou rôznou od 2 (a práve toto je prípad najčastejšie používaných polí, ako napr. reálne čísla alebo komplexné čísla), existuje pre kvadratickú formu vyjadrenie pomocou symetrickej matice.

Externé odkazy

• Článok o kvadratických formách v Encyclopaedia of Mathematics (po anglicky)
• Text o kvadratických formách