Diferenciálna rovnica

Diferenciálna rovnica ja matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a sú používané vo väčšine oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

Definícia

Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare
$F\left(x,y,y',\cdots,y^{(n)}\right)=0$
Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.

Druhy diferenciálnych rovníc

Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:

• obyčajné diferenciálne rovnice (skr. ODR alebo ODE) — rovnice obsahujúce derivácie len podľa jednej premennej.
• parciálne diferenciálne rovnice (skr. PDR alebo PDE) — obsahujú derivácie podľa viacerých premenných.
• stochastické diferenciálne rovnice (skr. SDR alebo SDE) — rovnice zahŕňajúce najmenej jeden stochastický proces
• diferenciálne algebrické rovnice (skr. DAE) — diferenciálne rovnice, v ktorých sa nachádzajú aj čisto algebrické vedľajšie podmienky.

Rád diferenciálnej rovnice

Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá.

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach.

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie $x(t)$, ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklady

1. príklad

Typickým príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je rovnica
$x'\left(t\right)+x\left(t\right)=0$
kde pod $x'(t)$ rozumieme deriváciu funkcie $x(t)$. Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu $x(t)$:
$\begin{array}{rcl}\dfrac{\textrm{d}x(t)}{\textrm{d}t}+x(t)&=&0\\ \dfrac{\textrm{d}x(t)}{\textrm{d}t}&=&-x(t)\\ \dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}&=&-\textrm{d}t\end{array}$

Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:

$\int\dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}=-\int\textrm{d}t$

Poznámka: Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov:

$\int\dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}=\ln(x(t))$
$-\int\textrm{d}t=-t+\ln|C|$

Poznámka: Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia $x(t)$

Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu $x(t)$:

$\begin{array}{rcl}\ln(x(t))&=&-t+\ln |C|\\ \ln x(t)-\ln|C|&=&-t\\ \ln\dfrac{x(t)}{|C|}&=&-t\\ \textrm{e}^{-t}&=&\dfrac{x(t)}{|C|}\\ x(t)&=&|C|\cdot\textrm{e}^{-t}\end{array}$
V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka $x(0)$.

2. príklad

Riešme diferenciálnu rovnicu $y'(x)=\frac{y(x)}{x}$ bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že $y(x)$ oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\textrm{d}y(x)}{\textrm{d}x}&=&\dfrac{y(x)}{x}\\ \dfrac{\textrm{d}y(x)}{y(x)}&=&\dfrac{\textrm{d}x}{x}\end{array}$

Premenné sú oddelené, môžeme integrovať $\int\limits\dfrac{\textrm{d}y(x)}{y(x)}=\int\dfrac{\textrm{d}x}{x}$ a dostaneme rovnicu:

$\begin{array}{rcl}\ln y(x)&=&\ln x+\ln |C|\\ \ln y(x)&=&\ln |C|\cdot x\\ y(x)&=&|C|\cdot x\end{array}$