Diferenciálna rovnica

Z Wikipédie

Diferenciálna rovnica ja matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a ich sú používané vo väčšine oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:

obyčajné diferenciálne rovnice (skr. ODR alebo ODE) — rovnice obsahujúce derivácie len podľa jednej premennej.
parciálne diferenciálne rovnice (skr. PDR alebo PDE) — obsahujú derivácie podľa viacerých premenných.
stochastické diferenciálne rovnice (skr. SDR alebo SDE) — rovnice zahŕňajúce najmenej jeden stochastický proces
diferenciálne algebrické rovnice (skr. DAE) — diferenciálne rovnice, v ktorých sa nachádzajú aj čisto algebrické vedľajšie podmienky.

Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá.

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach.

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie $u (t)$ , ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

Typickým príkladom diferenciálnej rovnice je

$\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t} = u(t),$

ktorej riešením je funkcia $u (t) = c e t$ , kde $c$ je ľubovoľná konštanta. Táto konštanta sa určuje z počiatočných podmienok, teda zadanej hodnoty $u (t)$ v jednej hodnote $t$ (väčšinou $u (0)$ ). Táto rovnica je podľa vyššie uvedenej klasifikácie obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu.