Diferenciálna rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Diferenciálna rovnica ja matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a sú používané vo väčšine oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare
F\left(x,y,y',\cdots,y^{(n)}\right)=0
Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.

Druhy diferenciálnych rovníc[upraviť | upraviť zdroj]

Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:

Rád diferenciálnej rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá.

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach.

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie x(t), ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

1. príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Typickým príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je rovnica
x'\left(t\right)+x\left(t\right)=0
kde pod x'(t) rozumieme deriváciu funkcie x(t). Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu x(t):
\begin{array}{rcl}\dfrac{\textrm{d}x(t)}{\textrm{d}t}+x(t)&=&0\\ \dfrac{\textrm{d}x(t)}{\textrm{d}t}&=&-x(t)\\ \dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}&=&-\textrm{d}t\end{array}

Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:

\int\dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}=-\int\textrm{d}t

Poznámka: Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov:

\int\dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}=\ln(x(t))
-\int\textrm{d}t=-t+\ln|C|

Poznámka: Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia x(t)

Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu x(t):

\begin{array}{rcl}\ln(x(t))&=&-t+\ln |C|\\ \ln x(t)-\ln|C|&=&-t\\ \ln\dfrac{x(t)}{|C|}&=&-t\\ \textrm{e}^{-t}&=&\dfrac{x(t)}{|C|}\\ x(t)&=&|C|\cdot\textrm{e}^{-t}\end{array}
V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka x(0).

2. príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Riešme diferenciálnu rovnicu y'(x)=\frac{y(x)}{x} bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že y(x) oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:

\begin{array}{rcl}\dfrac{\textrm{d}y(x)}{\textrm{d}x}&=&\dfrac{y(x)}{x}\\ \dfrac{\textrm{d}y(x)}{y(x)}&=&\dfrac{\textrm{d}x}{x}\end{array}

Premenné sú oddelené, môžeme integrovať \int\limits\dfrac{\textrm{d}y(x)}{y(x)}=\int\dfrac{\textrm{d}x}{x} a dostaneme rovnicu:

\begin{array}{rcl}\ln y(x)&=&\ln x+\ln |C|\\ \ln y(x)&=&\ln |C|\cdot x\\ y(x)&=&|C|\cdot x\end{array}