Parciálna diferenciálna rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Parciálna diferenciálna rovnica je v matematike rovnica obsahujúca neznámu funkciu niekoľkých nezávisle premenných a jej parciálne derivácie podľa týchto premenných. Najvyšší z rádov parciálnych derivácii vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Parciálne diferenciálne rovnice sú zovšeobecnením obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré obsahujú neznámu funkciu jednej premennej a jej derivácie. Každá obyčajná diferenciálna rovnica je súčasne aj parciálnou diferenciálnou rovnicou.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Parciálna diferenciálna rovnica je matematická rovnica tvaru

F\left(x_1,\ldots,x_n,u,\frac{\partial}{\partial x_1} u, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} u, \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} u, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_2} u, \ldots, \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} u, \ldots, \frac{\partial^k}{\partial x_1^k} u, \frac{\partial^k}{\partial x_1^{(k-1)} \partial x_2} u \ldots, \frac{\partial^k}{\partial x_n^k} u\right) = 0,

kde u(x_1, x_2, \ldots, x_n) je neznáma funkcia n premenných. Číslo k sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

Elementárny príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Uvažujme parciálnu diferenciálnu rovnicu

\frac{\partial}{\partial x} u(x,y) = 0 . \,

Zjavne, riešením tejto rovnice sú všetky funkcie nezávislé od x, preto možno všeobecné riešenie zapísať ako

u(x,y) = f(y),\,

kde f je ľubovoľná funkcia o jednej premennej. Uvedená rovnica je analógiou obyčajnej diferenciálnej rovnice

\frac{\textrm{d}u(x)}{\textrm{d}x} = 0,

ktorej riešením je ľubovoľná konštanta c (nezávislá od x).

Rovnica vedenia tepla[upraviť | upraviť zdroj]

Dôležitým príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje šírenie tepla v telesách v závislosti od času. Pre funkciu u(x,y,z,t), kde (x,y,z) vyjadruje polohu bodu v priestore a t udáva čas, má rovnica vedenia tepla tvar

\frac{\partial u}{\partial t} -\alpha\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0,

kde \alpha je konštanta.

Vlnová rovnica[upraviť | upraviť zdroj]

Vlnová rovnica je parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá sa využíva na opis vlnenia (akustického, mechanického, elektromagnetického, atď.).

Vo všeobecnosti ide o typ rovnice, ktorá sa dá vyjadriť v tvare

\frac{1}{c^2}\frac{\part^2 z}{\part t^2} = \frac{\part^2 z}{\part x_1^2} + \frac{\part^2 z}{\part x_2^2} + ... + \frac{\part^2 z}{\part x_n^2},

kde c je konštanta.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Springer, 2010.
  • Farlow, S. J.: Partial differential equations for scientists and engineers. Dover, 1993.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]