Parciálna diferenciálna rovnica
Parciálna diferenciálna rovnica je v matematike rovnica obsahujúca neznámu funkciu niekoľkých nezávisle premenných a jej parciálne derivácie podľa týchto premenných. Najvyšší z rádov parciálnych derivácii vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.
Parciálne diferenciálne rovnice sú zovšeobecnením obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré obsahujú neznámu funkciu jednej premennej a jej derivácie. Každá obyčajná diferenciálna rovnica je súčasne aj parciálnou diferenciálnou rovnicou.
Definícia[upraviť | upraviť zdroj]
Parciálna diferenciálna rovnica je matematická rovnica tvaru
kde je neznáma funkcia n premenných. Číslo k sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.
Príklady[upraviť | upraviť zdroj]
Elementárny príklad[upraviť | upraviť zdroj]
Uvažujme parciálnu diferenciálnu rovnicu
Zjavne, riešením tejto rovnice sú všetky funkcie nezávislé od x, preto možno všeobecné riešenie zapísať ako
kde f je ľubovoľná funkcia o jednej premennej. Uvedená rovnica je analógiou obyčajnej diferenciálnej rovnice
ktorej riešením je ľubovoľná konštanta c (nezávislá od x).
Rovnica vedenia tepla[upraviť | upraviť zdroj]
Dôležitým príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje šírenie tepla v telesách v závislosti od času. Pre funkciu kde vyjadruje polohu bodu v priestore a t udáva čas, má rovnica vedenia tepla tvar
kde je konštanta.
Vlnová rovnica[upraviť | upraviť zdroj]
Vlnová rovnica je parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá sa využíva na opis vlnenia (akustického, mechanického, elektromagnetického, atď.).
Vo všeobecnosti ide o typ rovnice, ktorá sa dá vyjadriť v tvare
kde c je konštanta.
Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]
- Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Springer, 2010.
- Farlow, S. J.: Partial differential equations for scientists and engineers. Dover, 1993.
Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]
- EqWorld - stránka s informáciami o riešeniach rovníc, vrátane parciálnych diferenciálnych (po anglicky).
- Parciálna diferenciálna rovnica - MathWorld (po anglicky)