Fourierova transformácia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Fourierova transformácia pri spracovaní signálov slúži na transformáciu z časovej oblasti, do oblasti frekvenčnej. Je vyjadrením časovo závislého signálu pomocou harmonických signálov, t. j. funkcií sínus a kosínus. Signál môže byť buď v spojitom alebo diskrétnom čase.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Fourierova transformácia S(\omega) funkcie s(t) je definovaná integrálnym vzťahom

S(i\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{-\imath\omega t}\, dt

Funkciu s(t) vypočítame z S(\omega) pomocou inverznej Fourierovej transformácie

s(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} S(i\omega)e^{\imath\omega t}\, d\omega

Nevlastné integrály chápeme v zmysle Cauchyho hlavnej hodnoty, t. j.

\int\limits_{-\infty}^{\infty} [.]\, d=\lim_{T \to \infty}\int\limits_{-T}^{T} [.]\, d

Dvojice vo Fourierovej transformácii sa nazývajú originál (v tomto prípade s(t)) a obraz (S(\omega)). Vzťah medzi originálom a obrazom vyjadrujeme zápisom

S(\omega)=\mathcal{F}[s(t)] a s(t)=\mathcal{F}^{-1}[S(\omega)].

V technickej oblasti je \omega uhlová rýchlosť, S(\omega) predstavuje spektrum signálu s(t).

Spektrum je komplexná veličina a možno ju vyjadriť v tvare S(\omega)=\left|S(\omega)\right|e^{i \mathrm{arg}\,S(\omega)}. Veľkosť \left|S(\omega)\right| sa nazýva amplitúdové spektrum a uhol \mbox{arg}\,S(\omega) fázové spektrum signálu.