Fourierova transformácia

Fourierova transformácia pri spracovaní signálov slúži na transformáciu z časovej oblasti, do oblasti frekvenčnej. Je vyjadrením časovo závislého signálu pomocou harmonických signálov, t. j. funkcií sínus a kosínus. Signál môže byť buď v spojitom alebo diskrétnom čase.

Definícia

Fourierova transformácia $S(\omega)$ funkcie $s(t)$ je definovaná integrálnym vzťahom

$S(i\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{-\imath\omega t}\, dt$

Funkciu $s(t)$ vypočítame z $S(\omega)$ pomocou inverznej Fourierovej transformácie

$s(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} S(i\omega)e^{\imath\omega t}\, d\omega$

Nevlastné integrály chápeme v zmysle Cauchyho hlavnej hodnoty, t. j.

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} [.]\, d=\lim_{T \to \infty}\int\limits_{-T}^{T} [.]\, d$

Dvojice vo Fourierovej transformácii sa nazývajú originál (v tomto prípade $s(t)$) a obraz ($S(\omega)$). Vzťah medzi originálom a obrazom vyjadrujeme zápisom

$S(\omega)=\mathcal{F}[s(t)]$ a $s(t)=\mathcal{F}^{-1}[S(\omega)]$.

V technickej oblasti je $\omega$ uhlová rýchlosť, $S(\omega)$ predstavuje spektrum signálu $s(t)$.

Spektrum je komplexná veličina a možno ju vyjadriť v tvare $S(\omega)=\left|S(\omega)\right|e^{i \mathrm{arg}\,S(\omega)}$. Veľkosť $\left|S(\omega)\right|$ sa nazýva amplitúdové spektrum a uhol $\mbox{arg}\,S(\omega)$ fázové spektrum signálu.