Homomorfizmus (algebra)

Homomorfizmus alebo homomorfné zobrazenie je zobrazenie z jednej algebrickej štruktúry do inej rovnakého typu, ktoré zachováva všetku relevantnú štruktúru.

Formálne je to teda zobrazenie $\phi: A \rightarrow B$ medzi dvomi algebrickými štruktúrami rovnakého typu také, že pre každú definovanú operáciu $f$ a pre všetky $x_i$ v $A$ platí

$\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))$

Každá algebrická štruktúra má svoj typ homomorfizmu:

• homomorfizmus grúp (všeobecnejšie homomorfizmus grupoidov)
• homomorfizmus okruhov
• homomorfizmus telies
• homomorfizmus algebier
• homomorfizmus vektorový priestorov = lineárne zobrazenie

Druhy homomorfizmov

Existujú tieto druhy homomorfizmov:

• izomorfizmus je bijektívny homomorfizmus (prostý a na)
• epimorfizmus je surjektívny homomorfizmus (na)
• monomorfismus je injektívny homomorfizmus (prostý)
• endomorfizmus je homomorfizmus z objektu do seba samého
• automorfizmus je endomorfizmus, ktorý je aj izomorfizmom

Jadro homomorfizmu

Každý homomorfizmus $f:X \rightarrow Y$ definuje ekvivalenciu $\sim$ tak, že $x \sim y$ práve vtedy, keď $f(x) = f(y)$. Ekvivalencia $\sim$ sa nazýva jadro $f$. Faktormnožine $X/\sim$ môže byť daná prirodzená štruktúra, čiže $[x] \circ [y] = [x \circ y]$. V tomto prípade je obraz $X$ homomorfizmu $f$ v $Y$ nutne izomorfný $X/\sim$.