Koeficient asymetrie

Koeficient asymetrie (iné názvy: koeficient šikmosti, koeficient nesúmernosti) je charakteristika rozdelenia náhodnej veličiny. Popisuje asymetriu (teda šikmosť) rozdelenia pravdepodobnosti. Zvykne sa označovať $\gamma _{1}$.

Definícia

Nech $X$ je ľubovoľná náhodná premenná a nech jej stredná hodnota je $E(X)=\mu$ a disperzia je $D(X)=\sigma ^{2}$. Potom koeficient asymetrie je definovaný nasledovným podielom:

$\gamma _{1}={\frac {\mu _{3}(X)}{\left[\sigma (X)\right]^{3}}}$

Pričom $\mu _{3}$ označuje tretí centrálny moment náhodnej premennej $X$.

Vlastnosti

Je zrejmé, že môžu nastať tri prípady, a to:

• $\gamma _{1}=0$; v tomto prípade hovoríme, že rozdelenie pravdepodobnosti je symetrické. Znamená to, že hodnoty náhodnej veličiny sú rovnomerne rozdelené na pravú aj ľavú stranu od strednej hodnoty. Medzi symetrické rozdelenia pravdepodobnosti patrí napríklad normálne rozdelenie.

• $\gamma _{1}>0$; ide o pozitívne alebo pravostranne zošikmené rozdelenie. Znamená to, že napravo od priemeru sa vyskytujú vzdialenejšie hodnoty ako naľavo a väčšina hodnôt sa nachádza viac vľavo od priemeru.

• $\gamma _{1}<0$; ide o negatívne alebo ľavostranne zošikmené rozdelenie.

Výberový koeficient asymetrie

Výberový koeficient asymetrie môžeme definovať nasledovným vzťahom:

$g_{1}={\sqrt {n}}{\frac {\operatorname {\sum } _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{3}}{\left(\operatorname {\sum } _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$,

kde ${\overline {X}}$ je výberový priemer.

Poznámky

^ V niektorej literatúre sa zvykne používať aj označenie $\rho _{x}$.

Zdroj

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory; Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
• POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Základné pojmy teórie pravdepodobnosti, s. 261.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Koeficient šikmosti na českej Wikipédii.