Kofinál

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Kofinál a kofinálnosť limitného ordinálneho čísla je matematický pojem z oblasti teórie množín (ordinálnej aritmetiky). Je to jedna zo základných charakteristík limitných ordinálnych čísel, vyjadruje „mieru prístupnosti horných úrovní ordinálneho čísla“.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Pojem kofinálnosti má zmysel definovať len pre limitné ordinálne čísla. Ďalej teda \alpha,\, \beta budú označovať ľubovolné ordinálne čísla a  \gamma,\, \delta budú označovať vždy limitné ordinálne čísla.

Kofinálna podmnožina[upraviť | upraviť zdroj]

Povedzme, že množina A \subseteq \gamma je kofinálnou podmnožinou \gamma, ak existuje pre každé \alpha\, <\, \gamma také \beta \in A, že \alpha\, \leq\, \beta. Hovoríme tiež, že A je kofinálne s \gamma.

Napríklad

  • množina A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \} je kofinálna podmnožina ordinálu \omega \,+\, \omega.
  • množina A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \} je kofinálna podmnožina ordinálu \delta \cdot \delta.
  • množina A=\{\alef_{\alpha}; \alpha \in \gamma \} je kofinálna podmnožina ordinálu \alef_{\gamma} pre každé \gamma\,>\,\omega.

Kofinál a kofinálnosť[upraviť | upraviť zdroj]

Kofinálom limitného ordinálu \gamma rozumieme najmenšie ordinálne číslo \alpha také, že existuje množina A \subseteq \gamma kofinálna s \gamma, ktorej ordinálnym typom je \alpha (tj. A je \in-izomorfná s \alpha). Kofinál limitného ordinálneho čísla \gamma sa značí \, cf(\gamma).

Kofinálnosťou \gamma rozumieme mohutnosť (kardinalitu) \, cf(\gamma). Dá sa ukázať, že pre každé \gamma je \, cf(\gamma) kardinálne číslo, a teda pojmy kofinál a kofinálnosť splývajú.

Napríklad

  • cf(\omega + \omega) \, = \, \omega
  • cf(\delta \cdot \delta) = \delta
  • cf(\alef_{\gamma})\,= \, cf(\gamma) pre každé \gamma\,>\,\omega

Regulárny a singulárny ordinál[upraviť | upraviť zdroj]

Limitné ordinálne číslo, ktoré sa rovná svojej kofinálnosti sa nazýva regulárne. V opačnom prípade (ak je kofinálnosť menšia) sa nazýva singulárne.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ďalej za predpokladu axiómu výberu:

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]