Pauliho matice

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Pauliho matice tvoria množinu troch komplexných hermitovských a unitárnych matíc o dvoch riadkoch a dvoch stĺpcoch. Zvyknú sa označovať gréckym písmenom 'sigma' (σ). V súvislosti s izospinom je obvyklé používať grécke písmeno 'tau' (τ). Píšeme ich v nasledujúcom tvare:


\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}

Algebraické vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Platia nasledujúce dôležité vzťahy:


\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I

pričom symbolom I označujeme jednotkovú maticu o dvoch stĺpcoch a dvoch riadkoch.

Determinanty a stopy spĺňajú tieto vzťahy:

\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{for}\ i = 1, 2, 3.
\end{matrix}

Z hora uvedených vlastností priamo plynie, že vlastné hodnoty každej a jednej pauliho matice σi sú ±1.

Komutačné relácie[upraviť | upraviť zdroj]

Pauliho matice splňujú nasledujúce komutačné relácie:

[  \sigma_i, \sigma_j\ ] = 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k

Taktiež vyhovujú antikomutačným reláciam:

\{\sigma_i, \sigma_j\} = 2 \delta_{i j} \cdot I