Pauliho matice

Pauliho matice tvoria množinu troch komplexných hermitovských a unitárnych matíc o dvoch riadkoch a dvoch stĺpcoch. Zvyknú sa označovať gréckym písmenom 'sigma' (σ). V súvislosti s izospinom je obvyklé používať grécke písmeno 'tau' (τ). Píšeme ich v nasledujúcom tvare:

$\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

Algebraické vlastnosti

Platia nasledujúce dôležité vzťahy:

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

pričom symbolom I označujeme jednotkovú maticu o dvoch stĺpcoch a dvoch riadkoch.

Determinanty a stopy spĺňajú tieto vzťahy:

$\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{for}\ i = 1, 2, 3. \end{matrix}$

Z hora uvedených vlastností priamo plynie, že vlastné hodnoty každej a jednej pauliho matice σ_i sú ±1.

Komutačné relácie

Pauliho matice splňujú nasledujúce komutačné relácie:

$[ \sigma_i, \sigma_j\ ] = 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k$

Taktiež vyhovujú antikomutačným reláciam:

$\{\sigma_i, \sigma_j\} = 2 \delta_{i j} \cdot I$