Stopa matice

Stopa matice alebo diagonálny súčet alebo sled je v lineárnej algebre súčet diagonálnych členov matice. Matica musí byť štvorcová, musí mať teda n stĺpcov a n riadkov.

Značenie

Stopu matice $\mathbf{A}$ o jednotlivých prvkoch $\mathbf{a}_{ij}$ môžeme označiť týmito ekvivalentnými spôsobmi:

$\mathrm{Tr}\mathbf{A} = \mathrm{Sp}\mathbf{A} = \sum_{i=1}^n a_{ii}$

Definícia

Majme štvorcovú maticu $\mathbf{A}$ nad poľom $\mathbf{K}$ s členmi:

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

stopu tejto matice definujeme nasledujúcim predpisom:

$\operatorname{Tr}(A)=\sum_{j=1}^n a_{jj} = a_{11}+a_{22}+...+a_{nn} \in K$.

Vlastnosti

Majme štvorcové matice $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ a $\mathbf{C}$ nad poľom $\mathbf{K}$ o rovnakom rozmere $\mathbf{n}$×$\mathbf{n}$. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

• Stopa reálnej alebo komplexnej matice je rovná sume jej vlastných hodnôt (zarátaných s danou násobnosťou). V charakteristickom polynóme vystupuje ako druhý koeficient. Má preto podobný význam ako determinant, ktprý je rovný súčinu vlastných hodnôt (umocnených s danou násobnosťou).

• Stopa je lineárne zobrazenie ($\mathbf{r}$ a $\mathbf{s}$ patria poľu $\mathbf{K}$), to znamená:

$\operatorname{Tr}(rA + sB) = r \cdot \mathrm{Tr}(A) + s \cdot \mathrm{Tr}(B)$.

• Stopa súčinu matíc je invariantná voči cyklickej zámene (permutácii matíc:

$\mathrm{Tr}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) = \mathrm{Tr}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

• Z predošlej vlastnosti plynie, že stopa je invariantná voči transformáciam báze pomocou nesingulárnej matice $\mathbf{B}$:

$\operatorname{Tr}\left(B^{-1}\cdot A\cdot B\right)= \mathrm{Tr}( A)$.

• Pre všetky reálne alebo komplexné matice rozmeru $n\times n$ platí:

$\det\left(\exp\left(A\right)\right)=\exp\left(\operatorname{Tr}\left(A\right)\right)$

• Pre transponovanú maticu $\mathbf{A}^T$ platí:

$\mathrm{Tr} \mathbf{A}^T = \mathrm{Tr} \mathbf{A}$