Stopa matice

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Stopa matice alebo diagonálny súčet alebo sled je v lineárnej algebre súčet diagonálnych členov matice. Matica musí byť štvorcová, musí mať teda n stĺpcov a n riadkov.

Značenie[upraviť | upraviť zdroj]

Stopu matice \mathbf{A} o jednotlivých prvkoch \mathbf{a}_{ij} môžeme označiť týmito ekvivalentnými spôsobmi:

\mathrm{Tr}\mathbf{A} = \mathrm{Sp}\mathbf{A} = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme štvorcovú maticu \mathbf{A} nad poľom \mathbf{K} s členmi:

A=\begin{pmatrix} 
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} 
\end{pmatrix}

stopu tejto matice definujeme nasledujúcim predpisom:

\operatorname{Tr}(A)=\sum_{j=1}^n a_{jj} = a_{11}+a_{22}+...+a_{nn} \in K.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Majme štvorcové matice \mathbf{A}, \mathbf{B} a \mathbf{C} nad poľom \mathbf{K} o rovnakom rozmere \mathbf{n}×\mathbf{n}. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

  • Stopa reálnej alebo komplexnej matice je rovná sume jej vlastných hodnôt (zarátaných s danou násobnosťou). V charakteristickom polynóme vystupuje ako druhý koeficient. Má preto podobný význam ako determinant, ktorý je rovný súčinu vlastných hodnôt (umocnených s danou násobnosťou).
  • Stopa je lineárne zobrazenie (\mathbf{r} a \mathbf{s} patria poľu \mathbf{K}), to znamená:
\operatorname{Tr}(rA + sB) = r \cdot \mathrm{Tr}(A) + s \cdot \mathrm{Tr}(B).
\mathrm{Tr}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) = \mathrm{Tr}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{B})
  • Z predošlej vlastnosti plynie, že stopa je invariantná voči transformáciam báze pomocou nesingulárnej matice \mathbf{B}:
\operatorname{Tr}\left(B^{-1}\cdot A\cdot B\right)= \mathrm{Tr}( A).
  • Pre všetky reálne alebo komplexné matice rozmeru n\times n platí:
\det\left(\exp\left(A\right)\right)=\exp\left(\operatorname{Tr}\left(A\right)\right)
\mathrm{Tr} \mathbf{A}^T = \mathrm{Tr} \mathbf{A}