Pohyb po kružnici

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Pohyb po kružnici je špeciálny druh krivočiareho pohybu, ktorého trajektóriou je kružnica (časť kružnice).

Druhy:

  1. Všeobecný (nerovnomerný) pohyb po kružnici - veľkosť rýchlosti sa mení inak ako lineárne
  2. Rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici - veľkosť rýchlosti sa mení priamo úmerne s časom (zrýchlenie je konštantné)
  3. Rovnomerný pohyb po kružnici - nemení sa veľkosť rýchlosti (rýchlosť je konštantná)

Poloha hmotného bodu pri pohybe po kružnici[upraviť | upraviť zdroj]

V polárnej sústave súradníc[upraviť | upraviť zdroj]

 r = \mathrm{const.} \,
 \varphi = f(t)

V karteziánskej sústave súradníc[upraviť | upraviť zdroj]

 x = r cos(\varphi + \varphi_0)
 y = r sin(\varphi + \varphi_0)

kde

r — je polomer kružnice v (m)
t — je čas v (s)
φ — je uhlová dráha v (rad)
x, y — sú karteziánske súradnice polohy v (m)

Perióda a frekvencia[upraviť | upraviť zdroj]

  • Perióda je doba, za ktorú hmotný bod opíše kružnicu jedenkrát.
 T = \frac{2 \pi}{\omega} ;\qquad T = \frac{2 \pi r}{v}
  • Frekvencia určuje počet kružníc, ktoré hmotný bod prejde za jednotku času.
 f = \frac{\omega}{2 \pi} ;\qquad f = \frac{v}{2 \pi r}

Výpočet pohybu po kružnici[upraviť | upraviť zdroj]

Skalárne vyjadrenie[upraviť | upraviť zdroj]

Všeobecný (nerovnomerný)

pohyb po kružnici

Rovnomerne zrýchlený

pohyb po kružnici

Rovnomerný

pohyb po kružnici

 \qquad \omega  \ne \mathrm{const.}  \qquad \epsilon = \mathrm{const.}  \qquad \omega = \mathrm{const.}
Uhlová rýchlosť  \omega = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}  \omega = \epsilon t + v_0  \,  \omega = \frac{\varphi - \varphi_0}{t}
Uhlová dráha  \varphi = \int\omega \, \mathrm{d}t  \varphi = \frac{1}{2} \epsilon t^2 + \omega_0 t + \varphi_0  \,

ak φ0 = 0, potom:

 \varphi = \frac{1}{2} \epsilon t^2 + \omega_0 t \,

ak φ0 = 0 a ω 0 = 0, potom:

 \varphi = \frac{1}{2} \epsilon t^2 \,

 \varphi = \omega t + \varphi_0 \,

ak φ0=0 potom:

 \varphi = \omega t \,

Uhlové zrýchlenie  \epsilon = \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2} ;\qquad \epsilon = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}  \epsilon = \frac{\omega - \omega_0}{t}

ak ω0=0 potom:

 \epsilon = \frac{\omega}{\mathrm{d} t}

 \epsilon = 0 \,

kde

ω — je uhlová rýchlosť v (rad/s)
ω0 — je počiatočná uhlová rýchlosť (uhlová rýchlosť v čase t=0) v (rad/s)
φ — je uhlová dráha v (rad)
φ0 — je počiatočná uhlová dráha (uhlová dráha v čase t=0) v (rad)
t — je čas v (s)
ε — je uhlové zrýchlenie v (rad/s²)

Vzťahy uhlových a obvodových veličín[upraviť | upraviť zdroj]

  • uhlová rýchlosť
 \omega = \frac{v}{r}
  • uhlová dráha
 \varphi = \frac{s}{r}

kde

v — je obvodová rýchlosť v (m/s)
s — je obvodová dráha v (m)
r — je polomer kružnice v (m)

Silové pôsobenie[upraviť | upraviť zdroj]

Dostredivé zrýchlenie je vyvolané dostredivou silou, ktorej smer je do stredu kružnice. Pri rovnomernom pohybe po kružnici sa jej veľkosť nemení. Z 2. Newtonovho pohybového zákona je veľkosť dostredivej sily:

 F_d = m \omega^2 r ;\qquad F_d = \frac{m v^2}{r} \,

kde

m — je hmotnosť hmotného bodu v (kg)
ω — je uhlová rýchlosť v (rad/s)
r — je polomer kružnice v (m)
v — je obvodová rýchlosť v (m/s)

Dostredivá sila má svoju reakciu v odstredivej sile, ktorej veľkosť je rovnaká, ale pôsobí smerom od stredu kružnice.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]