Portál:Matematika/Odporúčaný článok/29 2011

Vandermondova konvolúcia alebo Vandermondova identita je kombinatorická identita pomenovaná po francúzskom matematikovi Alexandre-Théophile Vandermonde, ktorý s ňou prišiel v roku 1772. Znenie identity je

${m+n \choose r}=\sum _{k=0}^{r}{m \choose k}{n \choose r-k},\qquad m,n,r\in \mathbb {N} _{0},$

kde ${n \choose k}$ je binomický koeficient. Napriek tomu, že je konvolúcia pomenovaná po Vandermondovi, v skutočnosti pochádza už z roku 1303, kedy ju objavil čínsky matematik Ši-ťie Ču.

Algebraický dôkaz

Vo všeobecnosti platí nasledujúci vzťah pre súčin dvoch polynómov stupňov m a r:

${\biggl (}\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}{\biggr )}=\sum _{r=0}^{m+n}{\biggl (}\sum _{k=0}^{r}a_{k}b_{r-k}{\biggr )}x^{r},$

pričom používame konvencu, že a_i = 0 pre i > m a b_j = 0 pre všetky j > n. Z binomickej vety,

$(1+x)^{m+n}=\sum _{r=0}^{m+n}{m+n \choose r}x^{r}.$

Celý článok...