Potenciálová bariéra

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Jednorozmerná pravoúhla potenciálová bariéra.
Bodkovanou čiarou je vyjadrený možný reálny potenciál a plnou modrou čiarou je jeho aproximácia pravouhlou potenciálovou bariérou.

Potenciálová bariéra alebo potenciálový val sa vo fyzike označuje také rozloženie potenciálu, že jeho hodnota je v určitej (obmedzenej) oblasti nenulová, pričom sa predpokladá, že je (aspoň približne) konštantná, konečná a kladná, zatiaľ čo mimo túto oblasť je hodnota potenciálu nulová.

V jednorozmernom prípade je možné potenciálovú bariéru vyjadriť potenciálom

V = \left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{ pre }x< 0\mbox{ a }x>a \\ V_0 & \mbox{ pre }0<x<a\end{matrix}\right.

Potenciálová bariéra umožňuje v kvantovej mechanike popísať základné vlastné vlastnosti kvantového tunelovania.

Obdobným prípadom ako potenciálová bariéra je tzv. potenciálová jama, kedy je V_0<0.

Klasická mechanika[upraviť | upraviť zdroj]

V klasickej mechanike je pohyb častíc povolený iba v oblasti, kde energia E častice je menšia ako hodnota potenciálu.

Pokiaľ sa teda častica s E<V_0 pohybuje smerom k potenciálovej bariére, potom sa môže pohybovať iba mimo oblasť 0<x<a. Do oblasti 0<x<a takáto častica nemôže vstúpiť. V klasickej mechanike sa teda častice nachádzajúce sa v oblasti x<0 nemôžu dostať do oblasti x>a a naopak. Potenciálová bariéra je pre takéto častice nepriepustnou stenou, ktorá oddeľuje obe oblasti x<0 a x>a.

Častice s E>V_0 sa môžu pohybovať i v oblasti 0<x<a a môžu teda cez potenciálovú bariéru prechádzať. Takáto klasická častica pohybujúca sa smerom k potenciálovej bariére cez túto bariéru vždy prejde, tzn. nikdy nedôjde ku jej odrazu. K odrazu častice od bariéry dochádza iba v prípade E<V_0.

Kvantová mechanika[upraviť | upraviť zdroj]

V kvantovej mechanike sa vlastnosti častice určia riešením odpovedajúcející Schrödingerovej rovnice.

Stacionárnu Schrödingerovu rovnicu vyjadríme zvlášť pre oblasť x < 0, oblasť 0<x<a a pre oblasť x > a. V bodoch x = 0 a x=a je pritom požadované, aby vlnová funkcia bola spojitá vrátane svojej prvej derivácie.

Schrödingerove rovnice teda majú tvar

\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d}^2\psi_I}{\mathrm{d}x^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi_I = 0 & \mbox{ pre } x<0 \\
\frac{\mathrm{d}^2\psi_{II}}{\mathrm{d}x^2} + \frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}\psi_{II} = 0 & \mbox{ pre } 0<x<a \\
\frac{\mathrm{d}^2\psi_{III}}{\mathrm{d}x^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi_{III} = 0 & \mbox{ pre } x>a 
\end{matrix}

Charakter riešenia sa líši podľa toho, či celková energia častice E je väčšia, alebo menšia než výška potenciálovej bariéry V_0. Výslednú vlnovú funkciu je možné rozdeliť na niekoľko častí. Predovšetkým na dopadajúcu vlnu, ktorá súvisí s voľnou časticou pohybujúcou sa smerom k potenciálovej bariére zo záporného nekonečna (teda v oblasti x<0). Ďalej môžeme uvažovať, že vlna sa po dopade čiastočne odrazí a čiastočne bude prechádzať do oblasti 0<x<a. V tejto oblasti postupuje vlna ďalej k bodu x=a, kde prechádza druhým potenciálovým skokom, od ktorého sa opät čiastočne odráža a čiastočne prejde do oblasti x>a. V oblasti x < 0 teda bude výsledná vlna \psi_I opísaná superpozíciou dopadajúcej vlny pohybujúcej sa v smere +x a odrazenej vlny pohybujúcej sa v smere -x. Podobne v oblasti 0<x<a je možné výslednú vlnu \psi_{II} opísať ako superpozíciu vĺn z oboch smerov, zatiaľ čo v oblasti x>a je možné nájsť iba prešlú vlnu \psi_{III} pohybujúcu sa v smere +x.

Prípad E>V0[upraviť | upraviť zdroj]

Ak zavedieme konštanty

k_I^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}
k_{II}^2 = \frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}

potom je možné všeobecné riešenie vyjadriť v tvare

\psi_I = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ix} + B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_Ix}
\psi_{II} = C\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_{II}x} + D\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_{II}x}
\psi_{III} = F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ix} + G\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_Ix}

Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient u člena opisujúceho v oblasti x>a pohyb smerom k bariére nulový, tzn. G=0.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch x=0 a x=a, tzn. na základe rovností \psi_I(0)=\psi_{II}(0), \psi_I^\prime(0)=\psi_{II}^\prime(0), \psi_{II}(a)=\psi_{III}(a) a \psi_{II}^\prime(a)=\psi_{III}^\prime(a), dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty A,B,C,D,F, tzn.

A+B = C+D
\mathrm{i}k_I(A-B) = \mathrm{i}k_{II}(C-D)
C\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_{II}a} + D\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_{II}a} = F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ia}
\mathrm{i}k_{II}\left(C\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_{II}a} - D\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_{II}a}\right) = \mathrm{i}k_I F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ia}

Pravdepodobnosť prechodu kvantovej častice cez bariéru je možné pre E>V_0 vyjadriť vzťahom

T = {\left|\frac{F}{A}\right|}^2 = \frac{1}{1+\frac{1}{4}{\left(\sqrt{\frac{E}{V_0-E}}+\sqrt{\frac{V_0-E}{E}}\right)}^2 \sinh^2\sqrt{\frac{8m(V_0+E)}{\hbar^2}}a}

Pravdepodobnosť odrazu od bariéry sa rovná

R = {\left|\frac{B}{A}\right|}^2 = 1 - T

Pre ľubovoľne široký a vysoký potenciálový val je táto pravdepodobnosť nenulová. Táto pravdepodobnosť však s rastúcou šírkou valu a rastúcim rozdielom energií V_-E veľmi rýchlo klesá. Z tohto dôvodu je teda pri makroskopických procesoch tento jav zanedbateľný a nie je ho potrebné uvažovať.

Prípad E<V0[upraviť | upraviť zdroj]

Ak zavedieme konštanty

k_I^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}
k_{II}^2 = \frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}

potom je všeobecné riešenie možné vyjadriť v tvare

\psi_I = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ix} + B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_Ix}
\psi_{II} = C\mathrm{e}^{-k_{II}x} + D\mathrm{e}^{k_{II}x}
\psi_{III} = F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ix} + G\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_Ix}

Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient člena opisujúceho v oblasti x>a pohyb smerom k bariére nulový, tzn. G=0.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch x=0 a x=a, tzn. na základe rovnosti \psi_I(0)=\psi_{II}(0), \psi_I^\prime(0)=\psi_{II}^\prime(0), \psi_{II}(a)=\psi_{III}(a) a \psi_{II}^\prime(a)=\psi_{III}^\prime(a), dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty A,B,C,D,F, tzn.

A+B = C+D
\mathrm{i}k_I(A-B) = -k_{II}(C-D)
C\mathrm{e}^{-k_{II}a} + D\mathrm{e}^{k_{II}a} = F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ia}
-k_{II}\left(C\mathrm{e}^{-k_{II}a} - D\mathrm{e}^{k_{II}a}\right) = \mathrm{i}k_I F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ia}

Pravdepodobnosť prechodu častice bariérou je možné vyjadriť ako

T = = \frac{1}{1+\frac{V_0^2\sinh^2(k_{II} a)}{4E(V_0-E)}}

Častica dopadajúca na potenciálový val sa teda podľa kvantovej mechaniky nemusí vždy odraziť, ale môže bariérou s určitou pravdepodobnosťou prejsť. Prechod častice bariérou je čisto kvantový jav, s kterým sa v klasickej mechanike nestretneme. Tento jav sa označuje ako tunelový jav alebo kvantové tunelovanie.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Potenciálová bariéra na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).