Začiatočný moment

Začiatočný moment alebo počiatočný moment je v matematickej štatistike jedna z charakteristík náhodnej premennej X, resp. jedna z charakteristík jej rozdelenia pravdepodobnosti. Zvyčajne sa táto charakteristika označuje nasledovne: $\mu_k$
Okrem iného sa začiatočné momenty spolu s centrálnymi momentmi využívajú pri definovaní charakteristík šikmosti a charakteristík špicatosti (koeficient šikmosti a špicatosti).

Ako vidno z nasledujúcej definície, stredná hodnota náhodnej premennej je prvý začiatočný moment náhodnej premennej.

Definícia

Nech $X^k$, kde $k$ je ľubovoľné prirodzené číslo, je integrovateľná náhodná premenná. Potom sa číslo

$\mu_k = \operatorname E[X^k]$

nazýva k-ty všeobecný začiatočný moment (resp. začiatočný všeobecný moment) náhodnej premennej $X$.

Číslo

$\mu_k^\prime = E[|X|^k]$

sa potom nazýva k-ty absolútny začiatočný moment (resp. začiatočný absolútny moment).

Špeciálne

Teda podľa definície môžeme vyjadriť začiatočné momenty pre náhodné premenné nasledovne:

Ak $X$ je diskrétna náhodná premenná, tak potom:

$\mu_k = \sum_{i=1}^\infty x_{i}^{k}P(x_{i})$

Ak $X$ je spojitá náhodná premenná, tak potom:

$\mu_k = \int_{E^1} x^{k}f(x)\operatorname{d}x$

kde $f(x)$ je hustota pravdepodobnosti danej náhodnej veličiny a $E^1$ je jednorozmerný euklidovský priestor.

Pozri aj

• moment (štatistika)
• Centrálny moment

Zdroje

• LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Štatistické analýzy.. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Náhodné premenné a náhodné vektory., s. 344. (slovenčina)

• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150. (slovenčina)
• ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Základy pravdepodobnosti, s. 288. (slovenčina)
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261. (slovenčina)