Dismutácia (matematika)

Dismutácia je matematický pojem, ktorý modeluje intuitívnu predstavu takého preusporiadania súboru vecí, po ktorom neostane ani jedna vec na svojom pôvodnom mieste. Formálne je dismutácia množiny $A$ definovaná ako taká jej permutácia, ktorá nemá pevný bod.

Napríklad, existuje 6 rôznych permutácií trojprvkovej množiny {A,B,C}. Sú to

$\textstyle \left({A \atop A}{B \atop B}{C \atop C}\right),\left({A \atop A}{B \atop C}{C \atop B}\right),\left({A \atop B}{B \atop A}{C \atop C}\right),\left({A \atop B}{B \atop C}{C \atop A}\right),\left({A \atop C}{B \atop A}{C \atop B}\right),\left({A \atop C}{B \atop B}{C \atop A}\right).$

Ale iba 2 z nich sú dismutácie. Konkrétne

$\textstyle \left({A \atop B}{B \atop C}{C \atop A}\right),\left({A \atop C}{B \atop A}{C \atop B}\right).$

Počet dismutácií

Podobne ako v prípade permutácii, aj počet rôznych dismutácií danej množiny zavisí iba od počtu jej prvkov. Napríklad:

• Prázdna, čiže 0-prvková množina, má práve jednu dismutáciu. Je to prázdne zobrazenie, ktoré ničomu nič nepriradí a teda nemôže mať ani pevný bod.
• Jednoprvková množina nemá žiadnu dismutáciu. Jediná jej permutácia je totiž identita a jej pevným bodom je každý prvok, na ktorom je definovaná.
• Horeuvedený príklad ukazuje, že existujú dve dismutácie trojprvkovej množiny.

Vo všeobecnosti možno počet dismutácií $!n$ ľubobolnej $n$-prvkovej množiny vypočítať pomocou rekurentného vzťahu

$!\,n=\textstyle (n-1)\left(!\,(n-1)+!\,(n-2)\right)$

s počiatočnou podmienkou $!0=1$ a $!1=0$. Číslo $!n$ sa nazýva subfaktoriál čísla $n$. Subfaktoriály celých čísel od 0 po 13 tvoria postupnosť

1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ...

Pozri aj

• Permutácia