Permutácia (algebra)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Permutácia množiny A je každá bijekcia z množiny A do množiny A.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • Množina všetkých permutácií pevne zvolenej množiny je uzavretá vzhľadom na kompozície zobrazení. Čiže, ak \pi_{1},\pi_{2}\colon A\to A sú permutácie množiny A, potom aj kompozície \pi_{1}\!\circ\pi_{2} a \pi_{2}\circ\pi_{1} sú permutáciami množiny A. Z toho vyplýva, že množina všetkých permutácii pevne zvolenej množiny A spolu s operáciou skladania zobrazení tvorí grupu.
  • Počet rôznych permutácií konečnej n-prvkovej množiny je n! (čiže n faktoriál).

Cykly permutácie[upraviť | upraviť zdroj]

Pre pevne zvolenú množinu A a pre jej pevne zvolenú permutáciu \pi\colon A\to A sa definuje na množine A relácia \sim_{\!\pi\,} podmienkou, že x\sim_{\!\pi\,}y vtedy a len vtedy ak existuje prirodzené číslo n také, že

(\underbrace{\pi\circ\pi\circ\ldots\circ\pi}_{n})(x)=\pi^{n}(x)=y.

Relácia \sim_{\!\pi\,} je ekvivalencia. Ak je množina A konečná, triedy ekvivalencie relácie \sim_{\!\pi\,} sa nazývajú cykly permutácie \pi.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]