Möbiov list

Möbiova páska zhotovená z papiera.

Möbiov list (tiež Möbiov pás(ik), Möbiova páska alebo v staršej literatúre Simonyho prstenec) je plocha, ktorá má len jednu stranu a jednu hranu. Roku 1858 ju nezávisle od seba objavili matematici August Ferdinand Möbius a Johann Benedikt Listing.

Vlastnosti Möbiovho listu

Möbiov list nie je zložitý útvar, napriek tomu veľmi názorne demonštruje javy, ktoré spôsobujú deformácie dvojrozmerného priestoru do tretieho rozmeru.

V euklidovskom priestore jestvujú v skutočnosti dva druhy Möbiovho listu v závislosti od smeru pootočenia konca pri jej realizácii – v smere hodinových ručičiek a v ich protismere. Preto je Möbiov list chirálny (analogicky k pravej a ľavej ruke).

Na vytvorenie Möbiovho listu je potrebný len dlhší úzky pruh papiera, pričom jeden koniec sa priečne pootočí o 180° a spojí sa s druhým koncom. Nevznikne tak bežný prstenec s dvomi stranami, ale objekt, ktorý hoci je trojrozmerný, má len jednu stranu (rubová a lícová strana na seba plynule nadväzujú, jedna strana prechádza do druhej).

Geometria a topológia

Möbiova páska v parametrickom grafe.

Jednou z možností, ako matematicky opísať Möbiov list ako podmnožinu $\mathbb {R} ^{3}$ je použitie parametrizácie:

$x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos(u)$

$y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin(u)$

$z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},$

kde $0\leq u<2\pi$ a $-1\leq v\leq 1$. Tento predpis vytvorí pásku šírky 1, ktorej centrálna kružnica má polomer 1 ležiaci v rovine $x$–$y$ so stredom v bode (0,0,0).

Vo valcovej sústave súradníc je Möbiov list reprezentovaný nasledujúcim predpisom:

$\log(r)\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=z\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right).$

Ďalšie efekty

Ak je Möbiov list v strede rozstrihnutý, potom vznikne jeden dlhý, niekoľkokrát pretočený pruh.

Ak nie je prestrihnutá v strede, ale na okraji, vzniknú tak dva do seba vpletené pruhy, jeden dvakrát dlhší než pôvodný Möbiov list a bez jej vlastností, druhý bude mať opäť jej vlastnosti. Ak sa bude v rozstrihovávaní pokračovať, vzniknuvšie pásky budú prepletené so všetkými predchádzajúcimi.

Ak necháme kráčať mravca po tejto páske, prvý okruh bude kráčať po vrchnej časti pásky a druhý po spodnej – bude sa nachádzať presne pod miestom, kde začal. Hoci pojem spodná strana a vrchná strana je relatívny, pretože vrchná plynulo prechádza do spodnej a opačne. Táto zvláštnosť sa môže využívať pri návrhoch hnacích remeňov. Hnacie remene v tvare Möbiovho listu sa opotrebúvajú na oboch stranách povrchu, čiže vydržia dvakrát tak dlho.

Ďalší problém vzniká, ak by sme chceli namaľovať každý povrch pásky inou farbou.

Umenie a technológia

Möbiov list inšpiroval viacerých umelcov. M. C. Escher vytvoril niekoľko obrazov s podobnou tématikou. Najznámejší z nich je Möbius Strip II, na ktorom kráčajú po Möbiovom liste mravce.

Podobne sa Möbiov list objavuje aj vo sci-fi literatúre.

• Arthur C. Clarke: The Wall of Darkness
• A. J. Deutsch: A Subway Named Möbius

Trojrozmerný ekvivalent listu – Möbiovu kocku – použil spisovateľ Dan Simmons vo svojom sci-fi románe Kantos Hyperionu ako úložisko schopné uzavrieť predmety alebo bytosti s veľkou energiou.

V technickej praxi našiel Möbiov list uplatnenie najmä v podobe dopravníkových pásov ako nekonečná prehrávacia slučka s dvojnásobnou dĺžkou záznamu.

Pozri aj

• Penroseov trojuholník
• Kleinova fľaša

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Möbiov list

Externé odkazy

• Escherov obraz Möbius Strip II