Amplitúda pravdepodobnosti

Amplitúda pravdepodobnosti je dôležitý pojem z kvantovej mechaniky, ktorý vyjadruje naše poznatky o systéme, pravdepodobnosť nájsť ho v určitom stave.

Amplitúda pravdepodobnosti pre polohu

Ak sa pod spomínaným určitým stavom myslí napríklad poloha častice v priestore, dostávame sa k najbežnejšiemu prípadu. Vtedy sa pod amplitúdou pravdepodobnosti pre nejakú časticu myslí komplexná funkcia (teda funkcia, ktorej hodnotami sú komplexné čísla) súradníc, označujeme ju vtedy $\Psi (x,y,z)$. Názov amplitúda pravdepodobnosti potom vyplýva z toho, že druhá mocnina tohto $\Psi$ má dôležitý fyzikálny význam, určuje pravdepodobnosť (resp. hustotu pravdepodobnosti). Konkrétne v našom prípade $\Psi (x,y,z)$ ide o hustotu pravdepodobnosti $\varrho (x,y,z)$ výskytu skúmanej častice v danom bode priestoru so súradnicami $(x,y,z)$. Platí teda

$\varrho (x,y,z)=|\Psi (x,y,z)|^{2}=\Psi ^{*}\Psi ,$

hviezdičkou sme tu označili komplexne združené číslo. Pre funkciu $\Psi (x,y,z)$ sa často používa aj názov vlnová funkcia. Vyjadruje totiž všetku možnú informáciu o systéme - pravdepodobnosť nájdenia častice v ľubovoľnom bode priestoru.

Z toho, že skúmaná častica sa niekde v priestore určite nachádzať musí vyplýva, že ak si priestor rozdelíme na malé časti a sčítame pravdepodobnosti nájdenia častice v niektorej z týchto malých častí, musíme dostať jednotku (istú udalosť). Uvedenému sčítaniu matematicky zodpovedá integrál cez celý priestor $\Omega$ a ten má byť rovný jednej. Platí teda

$\int _{\Omega }|\Psi (x,y,z|^{2}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=1.$

Toto sa nazýva normovacia podmienka pre vlnovú funkciu $\Psi (x,y,z)$.

Vlnová funkcia $\Psi (x,y,z)$ vystupuje v základnej rovnici kvantovej mechaniky, Schrödingerovej rovnici (tá plní v kvantovej mechanike presne tú istú úlohu ako Newtonova rovnica v bežnej mechanike zo strednej školy - hovorí o tom, ako sa systém vyvíja v čase).

Amplitúda pravdepodobnosti a princíp superpozície

Amplitúda pravdepodobnosti sa v kvantovej mechanike objavuje aj v inom kontexte, v súvislosti s princípom superpozície. Podľa neho sa kvantovomechanická sústava (napríklad elektrón v atóme) môže nachádzať v superpozícii dvoch alebo viacerých stavov. Ak uvažujeme superpozíciu stavov $\Psi _{1}$ a $\Psi _{2}$, potom platí

$\Psi =c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2},$

kde $c_{1}$ a $c_{2}$ sú nejaké (opäť komplexné) konštanty a tie nazývame amplitúdy pravdepodobnosti. Je to tak preto, lebo druhé mocniny ich absolútnych hodnôt majú opäť význam pravdepodobnosti. Napríklad teraz je $|c_{1}|^{2}$ pravdepodobnosť nájdenia sústavy v stave $\Psi _{1}$ a $|c_{2}|^{2}$ je pravdepodobnosť nájdenia sústavy v stave $\Psi _{2}$. Keďže sme si povedali, že náš systém sa teraz nachádza v superpozícii stavov $\Psi _{1}$ a $\Psi _{2}$, v žiadnom inom stave ho ani nájsť nemôžeme. Z toho vyplýva, že súčet oboch spomínaných pravdepodobností musí byť rovný jednej. Nakoniec teda zisťujeme, že čísla $c_{1}$ a $c_{2}$ nie sú úplne ľubovoľné, ale sú zviazané vzťahom (tzv. normovacou podmienkou)

$|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1.$

Toto je obdoba integrálnej normovacej podmienky platnej pre vlnovú funkciu chápanú ako $\Psi (x,y,z)$.