Schrödingerova rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Schrödingerova rovnica je základná diferenciálna rovnica, ktorá určuje vývoj fyzikálneho systému formalizmom vlnovej mechaniky. Je ústrednou rovnicou kvantovej mechaniky. Pomenovaná je podľa Erwina Schrödingera, ktorý ju sformuloval v roku 1926.[chýba zdroj]

Schrödingerova rovnica môže byť matematicky pretransformovaná na Heisenbergovu maticovú mechaniku a Feynmanovu formuláciu dĺžkového integrálu.

Schrödingerova rovnica[upraviť | upraviť zdroj]

V závislosti od toho, aký systém chceme popísať, Schrödingerovu rovnicu môžeme napísať vo viacerých tvaroch. V tejto časti predstavujeme rovnicu pre všeobecné a jednoduché prípady, ktoré sú predmetom mnohých učebníc.

Všeobecný kvantový systém[upraviť | upraviť zdroj]

Pre všeobecný kvantový systém platí:[1]

kde

  • je vlnová funkcia
  • je operátor energie[2] ( je imaginárna jednotka a je Planckova konštanta vydelená číslom 2),
  • je Hamiltonián.

Jedna častica s potenciálnou energiou[upraviť | upraviť zdroj]

Pre jednu časticu, na ktorú pôsobia sily (čiže potenciálna energia V je nenulová), má Schrödingerova rovnica tvar:[3]

kde

  • je operátor kinetickej energie (m je hmotnosť častice),
  • je Laplaceov operátor. V troch rozmeroch má Laplaceov operátor tvar, kde x, y a z sú osi v karteziánskej súradnicovej sústave,
  • je časovo nemenná potenciálna energia v mieste udanom polohovým vektorom r,
  • je amplitúda pravdepodobnosti pre časticu, ktorá sa má nachádzať v čase t na mieste určenom polohovým vektorom r.

Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica[upraviť | upraviť zdroj]

Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica pre jednu časticu s potenciálnou energiou V má tvar:[4]

Odvodenie[upraviť | upraviť zdroj]

Krátke heuristické odvodenie[upraviť | upraviť zdroj]

Schrödingerova rovnica môže byť odvodená nasledovným spôsobom.[chýba zdroj]

Predpoklady[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Celková energia častice E je
    Toto je klasický zápis pre časticu s hmotnosťou m, kde celková energia E je daná súčtom kinetickej energie T a potenciálnej energie V (táto sa môže meniť v závislosti od polohy a času). p je hybnosť častice a m jej hmotnosť.
  2. Einsteinova hypotéza kvánt energie z roku 1905, podľa ktorej je energia E fotónu priamoúmerná veľkosti frekvencie ν (alebo uhlovej frekvencie ω = 2πν) korešpondujúcej elektromagnetickej vlny.
  3. de Broglieho hypotéza z roku 1924, podľa ktorej akejkoľvek častici môže byť priradená vlna a hybnosť častice p je vo vzťahu ku vlnovej dĺžke λ (alebo vlnového čisla k) takom, že platí:
  4. Tieto tri predpoklady umožňujú odvodiť len rovnicu pre rovinnú vlnu. Tvrdiť, že takáto rovnica platí pre akúkoľvek vlnu vyžaduje princíp superpozicie, a preto je nutné postulovať nezávislý predpoklad, že Schrödingerova rovnica je lineárna.

Vyjadrenie vlnovej funkcie vo forme komplexnej rovinnej vlny[upraviť | upraviť zdroj]

Hľadáme parciálnu diferenciálnu rovnicu, ktorej riešením je nasledovná rovnica pre rovinnú vlnu (i):

kde A je komplexná konštanta

Platí:

Použijúc druhý a tretí predpoklad dostávame (ii):

Teraz zderivujeme vlnovú funkciu (i) najskôr podľa času t a potom podľa osi x:



Keďže platí (ii), platí aj



čo je Schrödingerova rovnica pre časticu pohybujúcu sa v smere osi x za neprítomnosti potenciálu V.

Schrödingerova rovnica pre časticu v trojrozmernom priestore za prítomnosti pôsobenia síl (teda potenciálu V) má tvar:


Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. SHANKAR, F.. Principles of Quantum Mechanics. 2. vyd. [s.l.] : Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1994. ISBN 978-0-306-44790-7. S. 143. (angličtina)
  2. Kurz kvantovej mechaniky na Kalifornskej univerzite v San Diegu
  3. SHANKAR, F.. Principles of Quantum Mechanics. 2. vyd. [s.l.] : Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1994. ISBN 978-0-306-44790-7. S. 143. (angličtina)
  4. SHANKAR, F. Principles of Quantum Mechanics. 2. vyd. [s.l.] : Kluwer Academic/Plenum Publishers, 1994. ISBN 978-0-306-44790-7. S. 145. (angličtina)

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Schrödinger equation na anglickej Wikipédii.