Diferenciálna rovnica

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Diferenciálna rovnica je matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a sú používané vo väčšine oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare

Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.

Druhy diferenciálnych rovníc[upraviť | upraviť zdroj]

Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:

Rád diferenciálnej rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá.

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach.

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie , ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklady[upraviť | upraviť zdroj]

1. príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Typickým príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je rovnica

kde pod rozumieme deriváciu funkcie . Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu :

Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:

Poznámka: Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov:


Poznámka: Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia

Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu :


V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka .

2. príklad[upraviť | upraviť zdroj]

Riešme diferenciálnu rovnicu bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:

Premenné sú oddelené, môžeme integrovať a dostaneme rovnicu: