Zobrazenie zdroja stránky Asociatívnosť

'''Asociatívnosť''' je v [[Algebra|algebre]] vlastnosť [[Binárna operácia|binárnej]] [[Matematická operácia|operácie]], spočívajúca v tom, že nezáleží, ako použijeme zátvorky pri výraze, kde je viac operandov, alebo v akom poradí budeme výraz počítať.

== Definícia ==
[[Binárna operácia]] * je na množine ''S '' '''asociatívna''', ak platí:
: <math>\forall x,y,z\in S \qquad (x * y) * z=x * (y * z).</math>

== Príklady ==
Najznámejšie príklady asociatívnych binárnych operácií sú [[sčítanie]] (''a''+''b'') a [[násobenie]] (''a''.''b'') [[Reálne číslo|reálnych čísel]].

:<math>(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)</math>
:<math>(7\cdot3) \cdot 2 = 21\cdot2 = 42 = 7\cdot6 = 7\cdot(3\cdot2)</math>

Ďalšie ukážky asociatívnych binárnych operácií sú napríklad: [[sčítanie]] a [[násobenie]] [[Komplexné číslo|komplexných čísel]], sčítanie [[Vektor (matematika)|vektorov]], [[Prienik (matematika)|prienik]] a [[Zjednotenie (matematika)|zjednotenie]] [[Množina|množín]].

Medzi binárne operácie, ktoré nie sú asociatívne, patrí napríklad [[odčítanie]] (''a''-''b''), [[Delenie (matematika)|delenie]] (''a'':''b'') a [[umocňovanie]] (''a''<sup>''b''</sup>) čísel alebo [[Vektorový súčin|vektorové násobenie]] vektorov.

:<math> 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 </math>.
:<math>2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3</math>

Pri neasociatívnych operáciách je potrebné buď dôsledne používať zátvorky, alebo sa dohodnúť na implicitnom poradí vykonávaných operácií - potom sa niekedy hovorí o operáciách ''asociatívnych zľava'' alebo ''asociatívnych sprava''. Z uvedených príkladov je odčítanie ľavo asociatívne, výraz <math>10-5-3</math> sa chápe ako <math>(10-5)-3</math>, naopak umocňovanie je asociatívne sprava, <math>2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)}</math> (pretože ľavá asociativita by nebola pri umocňovaní bola užitočná - rovnaký výsledok sa dá vďaka pravidlám pre mocniny zapísať pomocou súčinu exponentov: <math>(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}</math>).

== Pozri aj ==
* [[Komutatívnosť]]
* [[Distributívnosť]]
* [[Aritmetika]]
* [[Algebrická štruktúra]]

== Externé odkazy ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Associative.html Asociatívnosť] v encyklopédii MathWorld {{eng}}

{{Matematický výhonok}}

{{Preklad|cs|Asociativita|10018341}}

[[Kategória:Algebra]]
[[Kategória:Binárne operácie]]